Question

如圖1，連接△ABC的各邊中點得到一個新的△A₁B₁C₁，又連接△A₁B₁C₁的各邊中點得到△A₂B₂C₂，如此無限繼續(xù)下去，得到一系列三角形：△ABC，△A₁B₁C₁，△A₂B₂C₂，…
已知A（0，0），B（3，0），C（2，2）．

（1）求這一系列三角形趨向于一個點M的坐標(biāo)；
（2）如圖2，分別求出經(jīng)過A，B，C三點的拋物線解析式和經(jīng)過A₁，B₁，C₁三點的拋物線解析式；
（3）設(shè)兩拋物線的交點分別為E、F，連接EF、EC₁、FC₁、EC₂、FC₂、C₁C₂，問：C₂與△EC₁F的關(guān)系是什么？
（4）如圖3，問：A，A₂，C，C₂四點可不可能在同一條拋物線上，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圖可知點M應(yīng)該是△ABC的重心，可依據(jù)平面直角坐標(biāo)系中，三角形重心的坐標(biāo)是三角形三頂點的算術(shù)平均數(shù)來求出重心M的坐標(biāo)；
（2）可先根據(jù)A、B、C三點的坐標(biāo)和中位線定理求出A₁、B₁、C₁三點坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法分別求出兩條拋物線的解析式；
（3）由于拋物線同時過E、F兩點，可聯(lián)立（2）中兩個拋物線的解析式，然后得出一個關(guān)于x的一元二次方程，求出的兩個解便是E、F點的坐標(biāo)．然后求出C₂的坐標(biāo)，如果C2的橫坐標(biāo)大于或小于△EFC₁的所有頂點橫坐標(biāo)，則說明C₂在△EFC1外，如果不是這樣，則E、F和C₁坐標(biāo)都知道了，則根據(jù)兩點式方程求出△EFC₁三邊所在直線的方程，將C2的橫坐標(biāo)分別代入這三個直線方程，
①如果求出的結(jié)果全大于或小于C₂的縱坐標(biāo)，則說明C₂在△EFC₁外；
②如果求出的結(jié)果中有一至兩個等于C₂的縱坐標(biāo)，則說明C₂在△EFC₁的邊上，甚至頂點上；
③如果求出的結(jié)果不全大于或小于C₂的縱坐標(biāo)，則說明C₂在△EFC₁內(nèi)．
（4）先用三點的坐標(biāo)確定一個拋物線的解析式，然后將剩下的一點代入拋物線中即可判斷出四點是否在同一拋物線上．
解答：解：（1）由題意可知：M點的坐標(biāo)為（，），
即M（，）；

（2）設(shè)過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=a（x-0）（x-3），
則有：2=a×（2-0）×（2-3），解得a=-1，
因此過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=-x²+3x，
可求得A₁、B₁、C₁的坐標(biāo)分別為A₁（，1），B₁（1，1），C₁（，0），
設(shè)過這三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，則有：

解得：
即A₁，B₁，C₁三點的拋物線解析式為y=2x²-7x+6；

（3）根據(jù)題意有：2x²-7x+6=-x²+3x
即3x²-10x+6=0
解得x=，x=
由于E在F點左側(cè)，
因此E（，），F(xiàn)（，）
由題意可知C₂的坐標(biāo)為（，1）
然后將C₂的坐標(biāo)代入△EFC₁三邊所在的直線中，可得出C₂在△EFC₁外；

（4）A，A₂，C，C₂四點的坐標(biāo)分別為：（0，0），（，0）（2，2）（，1），
設(shè)過A、A₂、C三點的拋物線的解析式為y=m（x-0）（x-），
則有2=m×（2-0）×（2-），m=，
因此拋物線的解析式為：y=x²-x…①
將C₂點的坐標(biāo)代入①中可得：×-×=≠1
因此：A，A₂，C，C₂四點不可能在同一條拋物線上．
點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、中位線定理、三角形重心等知識點，綜合性強(qiáng)．能力要求高．考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．