【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,AB=4cm,CD⊥AB于點(diǎn)D,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AC以2cm/s的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P出發(fā)后,過(guò)點(diǎn)P作PQ∥BC交折線AD﹣DC于點(diǎn)Q,以PQ為邊作等邊三角形PQR,設(shè)四邊形APRQ與△ACD重疊部分圖形的面積為S(cm2),點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s).

(1)當(dāng)點(diǎn)Q在線段AD上時(shí),用含t的代數(shù)式表示QR的長(zhǎng);
(2)求點(diǎn)R運(yùn)動(dòng)的路程長(zhǎng);
(3)當(dāng)點(diǎn)Q在線段AD上時(shí),求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(4)直接寫出以點(diǎn)B,Q,R為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)t的值.

【答案】
(1)

解:如圖①,

∵△ABC是等邊三角形,

∴∠ACB=∠B=60°.

∵PQ∥BC,

∴∠APQ=∠ACB=60°,∠AQP=∠B=60°,

∴△APQ是等邊三角形.

∴PQ=AP=2t.

∵△PQR是等邊三角形,

∴QR=PQ=2t


(2)

解:過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G,如圖②,

則點(diǎn)R運(yùn)動(dòng)的路程長(zhǎng)是AG+CG.

在Rt△AGC中,∠AGC=90°,sin60°= = ,cos60°= = ,AC=4,

∴AG=2 ,CG=2.

∴點(diǎn)R運(yùn)動(dòng)的路程長(zhǎng)2 +2


(3)

解:①當(dāng)0<t≤ 時(shí),如圖③,

S=S菱形APRQ=2×SAPQ=2× ×(2t)2=2 t2;

②當(dāng) <t≤1時(shí),如圖④

PE=PCsin∠PCE=(4﹣2t)× =2﹣t,

∴ER=PR﹣PE=2t﹣(2﹣t)=3t﹣2,

∴EF=ERtanR= (3t﹣2)

∴S=S菱形APRQ﹣SREF

=2 t2 (3t﹣2)2=﹣ t2+6 t﹣2


(4)

解:t= 或t=

提示:①當(dāng)∠QRB=90°時(shí),如圖⑤,

cos∠RQB= = ,

∴QB=2QR=2QA,

∴AB=3QA=6t=4,

∴t= ;

②當(dāng)∠RQB=90°時(shí),如圖⑥,

同理可得BC=3RC=3PC=3(4﹣2t)=4,

∴t=


【解析】(1)易證△APQ是等邊三角形,即可得到QR=PQ=AP=2t;(2)過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G,如圖②,易得點(diǎn)R運(yùn)動(dòng)的路程長(zhǎng)是AG+CG,只需求出AG、CG就可解決問(wèn)題;(3)四邊形APRQ與△ACD重疊部分圖形可能是菱形,也可能是五邊形,故需分情況討論,然后運(yùn)用割補(bǔ)法就可解決問(wèn)題;(4)由于直角頂點(diǎn)不確定,故需分情況討論,只需分∠QRB=90°和∠RQB=90°兩種情況討論,即可解決問(wèn)題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】據(jù)襄陽(yáng)新聞報(bào)道2016年3月至2016年10月,襄陽(yáng)閘口二路“大蝦一條街”共銷售大蝦6000余噸.2017年潛江養(yǎng)蝦專業(yè)戶張小花抓住商機(jī),將自己養(yǎng)殖的大蝦銷往襄陽(yáng).計(jì)算了養(yǎng)殖成本以及運(yùn)費(fèi)等諸多因素,他發(fā)現(xiàn)大蝦的成本價(jià)為20元/公斤.經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查,一周的銷售量公斤與銷售單價(jià)()元/公斤的關(guān)系如下表:

銷售單價(jià)元/公斤

...

30

35

40

45

...

銷售量公斤

...

500

450

400

350

...

(1)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式;

(2)若張小花一周的銷售利潤(rùn)為W元,請(qǐng)求出W與的函數(shù)關(guān)系式,并確定當(dāng)銷售單價(jià)在什么范圍內(nèi)變化時(shí),一周的銷售利潤(rùn)隨著銷售單價(jià)的增大而增大?

(3)隨著賺的錢越來(lái)越多,張小花決定回饋社會(huì)將一周的銷售利潤(rùn)全部捐給襄陽(yáng)市福利院.若一周張小花的總成本不超過(guò)4000元,請(qǐng)求出張小花最大捐款數(shù)額是多少元?

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【題目】如圖,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D,則下面的結(jié)論中,正確的有 ( )

①BCAC互相垂直;②ACCD互相垂直;③點(diǎn)ABC的垂線段是線段BC;④點(diǎn)CAB的垂線段是線段CD;⑤線段BC是點(diǎn)BAC的距離;⑥線段AC的長(zhǎng)度是點(diǎn)ABC的距離.

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