Question

23、如圖，△ABD和△BCD均是邊長為2的等邊三角形，E、F分別是AD、CD上的兩個動點，且滿足AE+CF=2．
（1）求證：△BDE≌△BCF；
（2）判斷△BEF的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用菱形的性質和正三角形的特點進行證明；
（2）△BEF為正三角形，可解用（1）全等的結論證明；

解答：證明：（1）∵菱形ABCD的邊長為2，BD=2，
∴△ABD和△BCD都為正三角形，
∴∠BDE=∠BCF=60°，BD=BC，
∵AE+DE=AD=2，而AE+CF=2，
∴DE=CF，
∴△BDE≌△BCF；
（2）∵△BDE≌△BCF，
∴∠DBE=∠CBF，BE=BF，
∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°，
∴∠DBF+∠DBE=60°即∠EBF=60°，
∴△BEF為正三角形；

點評：本題考查了等邊三角形的判定與性質及全等三角形的判定與性質，難度一般，關鍵是利用菱形的性質和正三角形的特點進行證明．