Question

已知：如圖，一次函數(shù)的圖象經過第一、二、三象限，且與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點，與y軸交于點C，與x軸交于點D．OB=

10

，tan∠DOB=

1

3

．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）設點A的橫坐標為m，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）過點B作BH⊥x軸于點H，根據(jù)勾股定理求出B的坐標，設反正比例函數(shù)的解析式為y=

k1

x

（k≠0），把B的坐標代入求出即可；
（2）設直線AB的解析式為y=k₂x+b（k≠0），把A、B的坐標代入得到方程組，求出方程組的解，根據(jù)已知得到m＞0，b=

3-m

m

＞0，求出不等式的解集即可．

解答：解：（1）過點B作BH⊥x軸于點H，
在Rt△OHB中，HO=3BH，
由勾股定理，得  BH²+HO²=OB²，
又∵OB=

10

，
∴BH²+（3BH）²=（

10

）²，
∵BH＞0，
∴BH=1，HO=3，
∴點B（-3，-1），
設反比例函數(shù)的解析式為y=

k1

x

（k≠0），
∵點B在反比例函數(shù)的圖象上，代入得：k₁=3，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

3

x

．
答：反比例函數(shù)的解析式為y=

3

x

．

（2）設直線AB的解析式為y=k₂x+b（k≠0）．　　
由點A在第一象限，得m＞0，
又由點A 在函數(shù)y=

3

x

的圖象上，可求得點A的縱坐標為

3

m

，
∵點B（-3，-1），點A（m，

3

m

），
∴

-3k2+b=-1 mk2+b= 3 m

解關于k₂、b的方程組，得

k2= 1 m b= 3-m m

，
∴直線AB的解析式為　y=

1

m

x+

3-m

m

，
由已知，直線經過第一、二、三象限，
∴b＞0時，即　

3-m

m

＞0，
∵m＞0，
∴3-m＞0，
由此得　0＜m＜3．
答：m的取值范圍是0＜m＜3．

點評：本題主要考查對解一元一次不等式，解二元一次方程，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式等知識點的連接和掌握，能求出k₂和b的值是解此題的關鍵．