Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，CD與⊙O相切，AD∥BC，連結(jié)OD，AC．
（1）求證：∠B=∠DCA；
（2）若tanB=

5

2

，OD=3

6

，求⊙O的半徑長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）首先連接OC，由CD與⊙O相切，AB是⊙O的直徑，易證得∠2+∠3=90°，∠1+∠B=90°，又由OA=OC，則可證得：∠B=∠DCA；
（2）由AD∥BC，AB是⊙O的直徑，易證得△ABC∽△DCA，則可得

AC

DC

=

BC

AB

，又由∠B的正切值為

5

2

，可得：AC=

5

k，BC=2k，則AB=3k，繼而表示出DC的長，然后由勾股定理，可得(

3 5

2

k)2+(

3

2

k)2=(3

6

)2，則可求得答案．

解答：（1）證明：連結(jié)OC．
∵CD與⊙O相切，OC為半徑，
∴∠2+∠3=90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠1+∠B=90°，
又∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠B，
即∠B=∠DCA．

（2）解：∵AD∥BC，AB是⊙O的直徑，
∴∠DAC=∠ACB=90°，
∵∠1+∠B=90°，∠2+∠3=90°，∠1=∠2，
∴∠B=∠3，
∴△ABC∽△DCA，
∴

AC

DC

=

BC

AB

，
∵∠B的正切值為

5

2

，
設(shè)AC=

5

k，BC=2k，則AB=3k，
∴

5 k

DC

=

2

3

，
∴DC=

3 5 k

2

，
在△ODC中，OD=3

6

，OC=

1

2

AB=

3

2

k，
∴(

3 5

2

k)2+(

3

2

k)2=(3

6

)2，
∴解得：k=2，
∴⊙O的半徑長為3．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．