Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（10，0），B（4，8），C（0，8），連接AB，BC，點(diǎn)P在x軸上，從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿折線A﹣B﹣C向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)P，M兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）求AB長；
（2）設(shè)△PAM的面積為S，當(dāng)0≤t≤5時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出S取最大值時(shí)，點(diǎn)P的位置；
（3）t為何值時(shí)，△APM為直角三角形？

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，

∵A（10，0），B（4，8）C（0，8），

∴AO=10，BD=8，AD=6，

由勾股定理可求得：AB=10

（2）

解：∵AB=10，

∴10÷2=5，

∵0≤t≤5，

∴點(diǎn)M在AB上，

作ME⊥OA于E，

∴△AEM∽△ADB，

∴ ，

∴ ，

∴ME= t，

∴S= PAME= （10﹣t） =﹣ =﹣ （t﹣5）2+20，

∵0≤t≤5，

∴t=5時(shí)，S取最大值，此時(shí)PA=10﹣t=5，

即：點(diǎn)P在OA的中點(diǎn)處

（3）

解：由題意可知：0≤t≤7，

當(dāng)點(diǎn)P是直角頂點(diǎn)時(shí)，

∴PM⊥AP，

∴PA=10﹣t，

若0≤t≤5時(shí)，點(diǎn)M在AB上，如圖2，

此時(shí)AM=2t，

∵cos∠BAO= ，

∴ = ，

∴

∴t= ，

若5＜t≤7時(shí)，點(diǎn)M在BC上，如圖3，

∴CM=14﹣2t，OP=t，

∴OP=CM，

∴t=14﹣2t，

∴t= ，

當(dāng)點(diǎn)A是直角頂點(diǎn)時(shí)，

此時(shí)，∠MAP不可能為90°，此情況不符合題意；

當(dāng)點(diǎn)M是直角頂點(diǎn)時(shí)，

若0≤t≤5時(shí)，M在AB上，如圖4，

此時(shí)，AM=2t，AP=10﹣t

∵cos∠BAO= ，

∴ ，

∴ ，

∴t= ，

若5＜t≤7時(shí)，點(diǎn)M在BC上，如圖5，

過點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，

此時(shí)，CM=14﹣2t，OP=t，

∴ME=8，PE=CM﹣OP=14﹣3t，

∴EA=10﹣（14﹣2t）=2t﹣4，

∵∠PMA=∠MEA=90°，

∴∠PME+∠EMA=∠EMA+∠MAP=90°，

∴∠PME=∠MAP，

∴△PME∽△MAE，

∴ ，

∴ME2=PEEA，

∴64=（14﹣3t）（2t﹣4），

∴3t2﹣8t+60=0，

△=﹣656＜0，故此情況不存在；

綜上所述，t= 或 ；

【解析】（1）過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，利用勾股定理求出AB的長度；（2）先判斷出點(diǎn)M在AB上，然后表示出PA，ME即可用三角形的面積公式即可；（3）△APM為直角三角形時(shí)，由于沒有規(guī)定哪個(gè)頂點(diǎn)是直角頂點(diǎn)，所以分三種情況進(jìn)行討論；利用銳角三角函數(shù)或相似三角形的性質(zhì)即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解三角形的面積(三角形的面積=1/2×底×高)，還要掌握三角形的穩(wěn)定性(三角形的形狀是固定的，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性．三角形的這個(gè)性質(zhì)在生產(chǎn)生活中應(yīng)用很廣，需要穩(wěn)定的東西一般都制成三角形的形狀)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．