【題目】已知AM∥CN,點B為平面內(nèi)一點,AB⊥BC于B
(1)如圖1,直接寫出∠A和∠C之間的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖2,過點B作BD⊥AM于點D,求證:∠ABD=∠C;
(3)如圖3,在(2)問的條件下,點E.F在DM上,連接BE.BF.CF,BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,若∠FCB+∠NCF=180°,∠ABF=2∠ABE,求∠EBC的度數(shù).
【答案】(1)90°;(2)詳見解析;(3)105°
【解析】
(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可;
(2)先過點B作BG∥DM,根據(jù)同角的余角相等,得出∠ABD=∠CBG,再根據(jù)平行線的性質(zhì),得出∠C=∠CBG,即可得到∠ABD=∠C;
(3)先過點B作BG∥DM,根據(jù)角平分線的定義,得出∠ABF=∠GBF,再設(shè)∠DBE=α,∠ABF=β,根據(jù)∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°,可得(2α+β)+3α+(3α+β)=180°,根據(jù)AB⊥BC,可得β+β+2α=90°,最后解方程組即可得到∠ABE=15°,進(jìn)而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.
解:(1)如圖1,AM與BC的交點記作點O,
∵AM∥CN,
∴∠C=∠AOB,
∵AB⊥BC,
∴∠A+∠AOB=90°,
∴∠A+∠C=90°;
(2)如圖2,過點B作BG∥DM,
∵BD⊥AM,
∴DB⊥BG,即∠ABD+∠ABG=90°,
又∵AB⊥BC,
∴∠CBG+∠ABG=90°,
∴∠ABD=∠CBG,
∵AM∥CN,BG∥AM,
∴CN∥BG,
∴∠C=∠CBG,
∴∠ABD=∠C;
(3)如圖3,過點B作BG∥DM,
∵BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,
∴∠DBF=∠CBF,∠DBE=∠ABE,
由(2)可得∠ABD=∠CBG,
∴∠ABF=∠GBF,
設(shè)∠DBE=α,∠ABF=β,則
∠ABE=α,∠ABD=2α=∠CBG,∠GBF=β=∠AFB,∠BFC=3∠DBE=3α,
∴∠AFC=3α+β,
∵∠AFC+∠NCF=180°,∠FCB+∠NCF=180°,
∴∠FCB=∠AFC=3α+β,
△BCF中,由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°,可得
(2α+β)+3α+(3α+β)=180°,①
由AB⊥BC,可得
β+β+2α=90°,②
由①②聯(lián)立方程組,解得α=15°,
∴∠ABE=15°,
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.
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【題目】如圖,ΔABC中,點A的坐標(biāo)為(0,1),點C的坐標(biāo)為(4,3),點B的坐標(biāo)為(3,1),如果要使ΔABD與ΔABC全等,求點D的坐標(biāo).
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【題目】已知△ABC的三邊a,b,c,滿足a+b2+|c﹣6|+28=4+10b,則△ABC的外接圓半徑=__________.
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【題目】如圖,直角坐標(biāo)系中,△ABC的頂點都在網(wǎng)格點上,其中C點坐標(biāo)為(1,2).
(1)寫出點A,B的坐標(biāo):A( )、B( );
(2)判斷△ABC的形狀 ;計算△ABC的面積是 .
(3)將△ABC先向左平移2個單位長度,再向上平移1個單位長度,得到,則的三個頂點坐標(biāo)分別是( ),( ),( ).
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【題目】完善下列解題步輩.井說明解題依據(jù).
如圖,已知∠1=∠2,∠B=∠C,求證:AB∥CD.
證明:∵∠1=∠2(已知)
且∠1=∠CGD(______)
∴∠2=∠CGD(______)
∴______∥______(______),
∴∠C=______(______)
又∵∠B=∠C(已知)
∴______=∠B
AB∥CD(______)
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【題目】如圖,已知:∠MON=30o,點A1、A2、A3 在射線ON上,點B1、B2、B3…..在射線OM上,△A1B1A2. △A2B2A3、△A3B3A4……均為等邊三角形,若OA1=l,則△A6B6A7 的邊長為【 】
A.6 B.12 C.32 D.64
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【題目】閱讀下面的推理過程,在括號內(nèi)填上推理的依據(jù),如圖:
∵∠1+∠2=180°,∠2+∠4=180°(已知)
∴∠1=∠4( )
∴c∥a( )
又∵∠2+∠3=180°(已知 )
∠3=∠6( )
∴∠2+∠6=180°( )
∴a∥b( )
∴c∥b( )
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【題目】一個箱子內(nèi)有4顆相同的球,將4顆球分別標(biāo)示號碼1、2、3、4,今翔翔以每次從箱子內(nèi)取一顆球且取后放回的方式抽取,并預(yù)計取球10次,現(xiàn)已取了8次,取出的結(jié)果如表所列:
次數(shù) | 第1次 | 第2次 | 第3次 | 第4次 | 第5次 | 第6次 | 第7次 | 第8次 | 第9次 | 第10次 |
號碼 | 1 | 3 | 4 | 4 | 2 | 1 | 4 | 1 |
若每次取球時,任一顆球被取到的機(jī)會皆相等,且取出的號碼即為得分,請回答下列問題:
(1)請求出第1次至第8次得分的平均數(shù).
(2)承(1),翔翔打算依計劃繼續(xù)從箱子取球2次,請判斷是否可能發(fā)生「這10次得分的平均數(shù)不小于2.2,且不大于2.4」的情形?若有可能,請計算出發(fā)生此情形的機(jī)率,并完整寫出你的解題過程;若不可能,請完整說明你的理由.
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【題目】如圖,有一塊矩形板材ABCD,AB=3米,AD=6米,E,F(xiàn),G分別在AD,AB,BC上,∠EFG=900,EF=FG= 米,AF<BF.現(xiàn)想從此板材中剪出一個四邊形EFGH,使得∠EHG=450,則四邊形EFGH面
積的最大值是____________平方米.
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