Question

（2012•靜�？h二模）如圖，拋物線m：y=ax²+b（a＜0，b＞0）與x軸于點A、B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．將拋物線m繞點B旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線n，它的頂點為C₁，與x軸的另一個交點為A₁．若四邊形AC₁A₁C為矩形，則a，b應(yīng)滿足的關(guān)系式為（　�。�

A．a(chǎn)b=-2

B．a(chǎn)b=-3

C．a(chǎn)b=-4

D．a(chǎn)b=-5

Answer 1

分析：假設(shè)a=-1，b=1得出拋物線m的解析式，再利用C與C₁關(guān)于點B中心對稱，得出二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，利用矩形性質(zhì)得出要使平行四邊形AC₁A₁C是矩形，必須滿足AB=BC，即可求出．

解答：解：假設(shè)a=-1，b=1時，拋物線m的解析式為：y=-x²+1．
令x=0，得：y=1．∴C（0，1）．
令y=0，得：x=±1．
∴A（-1，0），B（1，0），
∵C與C₁關(guān)于點B中心對稱，
∴拋物線n的解析式為：y=（x-2）²-1=x²-4x+3；
令x=0，得：y=b．∴C（0，b）．
令y=0，得：ax²+b=0，∴x=±

- b a

，∴A（-

- b a

，0），B（

- b a

，0），
∴AB=2

- b a

，BC=

OC2+OB2

=

b2- b a

．
要使平行四邊形AC₁A₁C是矩形，必須滿足AB=BC，
∴2

- b a

=

b2- b a

．∴4×（-

b

a

）=b²-

b

a

，
∴ab=-3．
∴a，b應(yīng)滿足關(guān)系式ab=-3．
故選B．

點評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)和點的坐標(biāo)關(guān)于一點中心對稱的性質(zhì)，靈活應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．