證明:
(1)如圖1,△ABC中,AB=AC,延長(zhǎng)BC至D,使CD=BC,點(diǎn)E在邊AC上,以CE、CD為鄰邊作?CDFE,過(guò)點(diǎn)C作CG∥AB交EF于點(diǎn)G.連接BG、DE.
①∠ACB與∠GCD有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由.
②求證:△BCG≌△DCE.
(2)如圖2,分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD、等邊△ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足為F,連接DF.
①試說(shuō)明AC=EF;
②求證:四邊形ADFE是平行四邊形.
分析:(1)①由AB=AC與CG∥AB,根據(jù)等邊對(duì)等角與平行線的性質(zhì),易求得∠ACB=∠GCD;
②易證得CE=CD,∠BCG=∠ECD,然后由SAS證得:△BCG≌△DCE;
(2)①首先Rt△ABC中,由∠BAC=30°可以得到AB=2BC,又△ABE是等邊三角形,EF⊥AB,由此得到AE=2AF,并且AB=2AF,然后即可證明△AFE≌△BCA,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明AC=EF;
②根據(jù)①知道EF=AC,而△ACD是等邊三角形,所以EF=AC=AD,并且AD⊥AB,而EF⊥AB,由此得到EF∥AD,再根據(jù)平行四邊形的判定定理即可證明四邊形ADFE是平行四邊形.
解答:證明:(1)①∠ACB=∠GCD.
理由:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵CG∥AB,
∴∠ABC=∠GCD,
∴∠ACB=∠GCD;

②∵四邊形CDFE是平行四邊形,
∴∠CEG=∠ACB,∠CGE=∠GCD,
∴∠CEG=∠CGE,
∴CE=CG,
∵∠ACB+∠ECG=∠ECG+∠GCD,
即∠BCG=∠ECD,
在△BCG和△DCE中,
BC=DC
∠BCG=∠ECD
CG=CE
,
∴△BCG≌△DCE(SAS);

(2)①∵Rt△ABC中,∠BAC=30°,
∴AB=2BC,
又∵△ABE是等邊三角形,EF⊥AB,
∴∠AEF=30°
∴AE=2AF,且AB=2AF,
∴AF=CB,
而∠ACB=∠AFE=90°,
在Rt△AFE和Rt△BCA中,
AF=BC
AE=BA
,
∴△AFE≌△BCA(HL),
∴AC=EF;

②由①知道AC=EF,
而△ACD是等邊三角形,
∴∠DAC=60°
∴EF=AC=AD,且AD⊥AB,
而EF⊥AB,
∴EF∥AD,
∴四邊形ADFE是平行四邊形.
點(diǎn)評(píng):此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì).此題難度適中,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,矩形ABCD中,點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)在線段AB上作勻速運(yùn)動(dòng)(不與A、B重合),同時(shí)點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā)在線段BC上作勻速運(yùn)動(dòng).
(1)如圖1,若M為AB中點(diǎn),且DM⊥MN.請(qǐng)?jiān)趫D中找出兩對(duì)相似三角形:
 
 
_,②
 
 
,選擇其中一對(duì)加以證明;
(2)①如圖2,若AB=5,BC=3點(diǎn)M的速度為1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒,點(diǎn)N的速度為
12
個(gè)單位長(zhǎng)度/秒,運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.當(dāng)t為何值時(shí),△DAM與△MBN相似?請(qǐng)說(shuō)明理由;
②如果把點(diǎn)N的速度改為a個(gè)單位長(zhǎng)度/秒,其它條件不變,是否存在a的值,使得△DAM與△MBN和△DCN這兩個(gè)三角形都相似?若存在,請(qǐng)求出a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,△ABC和△DEC都是等腰直角三角形,C為它們的公共直角頂點(diǎn),連AD,BE,F(xiàn)為線段AD的中點(diǎn),連CF,
(1)如圖1,當(dāng)D點(diǎn)在BC上時(shí),BE與CF的數(shù)量關(guān)系是
 
,位置關(guān)系是
 
,請(qǐng)證明.
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(2)如圖2,把△DEC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角,其他條件不變,問(wèn)(1)中的關(guān)系是否仍然成立?如果成立請(qǐng)證明.如果不成立,請(qǐng)寫出相應(yīng)的正確的結(jié)論并加以證明.
(3)如圖3,把△DEC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,若∠DCF=30°,直接寫出
BGCG
的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

19、已知:如圖所示,直線MA∥NB,∠MAB與∠NBA的平分線交于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作一條直線l與兩條直線MA、NB分別相交于點(diǎn)D、E.

(1)如圖1所示,當(dāng)直線l與直線MA垂直時(shí),猜想線段AD、BE、AB之間的數(shù)量關(guān)系,請(qǐng)直接寫出結(jié)論,不用證明;
(2)如圖2所示,當(dāng)直線l與直線MA不垂直且交點(diǎn)D、E都在AB的同側(cè)時(shí),(1)中的結(jié)論是否成立?如果成立,請(qǐng)證明:如果不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)直線l與直線MA不垂直且交點(diǎn)D、E在AB的異側(cè)時(shí),(1)中的結(jié)論是否仍然成立?如果成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;如果不成立,那么線段AD、BE、AB之間還存在某種數(shù)量關(guān)系嗎?如果存在,請(qǐng)直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

25、已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交CB、DC(或它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)M、N,AH⊥MN于點(diǎn)H.
(1)如圖①,當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí),請(qǐng)你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系:
AH=AB

(2)如圖②,當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí),(1)中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎?如果不成立請(qǐng)寫出理由,如果成立請(qǐng)證明;
(3)如圖③,已知∠MAN=45°,AH⊥MN于點(diǎn)H,且MH=2,NH=3,求AH的長(zhǎng).(可利用(2)得到的結(jié)論)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC和△EDC中,∠ACB=∠ECD=90°,BC=k•AC,CD=k•CE.
(1)如圖1,當(dāng)k=1時(shí),AE與BD的數(shù)量關(guān)系是:
 
,位置關(guān)系是:
 
;
(2)如圖2,當(dāng)k≠1時(shí),請(qǐng)?zhí)剿鰽E與BD的關(guān)系,并證明;
(3)如圖3,在(2)的條件下,分別在BD、AE上取點(diǎn)M、N,使得BD=m•MD,AE=m•NE,試探索CN與CM的關(guān)系,并證明.
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