Question

（2012•成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=

5

4

x+m（m為常數(shù)）的圖象與x軸交于點A（-3，0），與y軸交于點C．以直線x=1為對稱軸的拋物線y=ax²+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）經(jīng)過A，C兩點，并與x軸的正半軸交于點B．
（1）求m的值及拋物線的函數(shù)表達式；
（2）設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上一點，過點E作直線AC的平行線交x軸于點F．是否存在這樣的點E，使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點E的坐標(biāo)及相應(yīng)的平行四邊形的面積；若不存在，請說明理由；
（3）若P是拋物線對稱軸上使△ACP的周長取得最小值的點，過點P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于M₁（x₁，y₁），M₂（x₂，y₂）兩點，試探究

M1P•M2P

M1M2

是否為定值，并寫出探究過程．

Answer 1

分析：（1）首先求得m的值和直線的解析式，根據(jù)拋物線對稱性得到B點坐標(biāo)，根據(jù)A、B點坐標(biāo)利用交點式求得拋物線的解析式；
（2）存在點E使得以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形．如答圖1所示，過點E作EG⊥x軸于點G，構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形和平行四邊形的性質(zhì)求得E點坐標(biāo)和平行四邊形的面積．注意：符合要求的E點有兩個，如答圖1所示，不要漏解；
（3）本問較為復(fù)雜，如答圖2所示，分幾個步驟解決：
第1步：確定何時△ACP的周長最�。�利用軸對稱的性質(zhì)和兩點之間線段最短的原理解決；
第2步：確定P點坐標(biāo)P（1，3），從而直線M₁M₂的解析式可以表示為y=kx+3-k；
第3步：利用根與系數(shù)關(guān)系求得M₁、M₂兩點坐標(biāo)間的關(guān)系，得到x₁+x₂=2-4k，x₁x₂=-4k-3．這一步是為了后續(xù)的復(fù)雜計算做準備；
第4步：利用兩點間的距離公式，分別求得線段M₁M₂、M₁P和M₂P的長度，相互比較即可得到結(jié)論：

M1P•M2P

M1M2

=1為定值．這一步涉及大量的運算，注意不要出錯，否則難以得出最后的結(jié)論．

解答：解：（1）∵y=

5

4

x+m經(jīng)過點（-3，0），
∴0=-

15

4

+m，解得m=

15

4

，
∴直線解析式為y=

5

4

x+

15

4

，C（0，

15

4

）．
∵拋物線y=ax²+bx+c對稱軸為x=1，且與x軸交于A（-3，0），∴另一交點為B（5，0），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+3）（x-5），
∵拋物線經(jīng)過C（0，

15

4

），
∴

15

4

=a•3（-5），解得a=-

1

4

，
∴拋物線解析式為y=-

1

4

x²+

1

2

x+

15

4

；

（2）假設(shè)存在點E使得以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，
則AC∥EF且AC=EF．如答圖1，
（i）當(dāng)點E在點E位置時，過點E作EG⊥x軸于點G，
∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG，
又∵

∠EGF=∠COA=90° ∠GFE=∠OAC EF=AC

，
∴△CAO≌△EFG，
∴EG=CO=

15

4

，即y_E=

15

4

，
∴

15

4

=-

1

4

x_E²+

1

2

x_E+

15

4

，解得x_E=2（x_E=0與C點重合，舍去），
∴E（2，

15

4

），S_?ACEF=

15

2

；
（ii）當(dāng)點E在點E′位置時，過點E′作E′G′⊥x軸于點G′，
同理可求得E′（

31

+1，-

15

4

），S_?ACF′E′=

15 31 +105

4

．

（3）要使△ACP的周長最小，只需AP+CP最小即可．
如答圖2，連接BC交x=1于P點，因為點A、B關(guān)于x=1對稱，根據(jù)軸對稱性質(zhì)以及兩點之間線段最短，可知此時AP+CP最小（AP+CP最小值為線段BC的長度）．
∵B（5，0），C（0，

15

4

），∴直線BC解析式為y=-

3

4

x+

15

4

，
∵x_P=1，∴y_P=3，即P（1，3）．
令經(jīng)過點P（1，3）的直線為y=kx+b，則k+b=3，即b=3-k，
則直線的解析式是：y=kx+3-k，
∵y=kx+3-k，y=-

1

4

x²+

1

2

x+

15

4

，
聯(lián)立化簡得：x²+（4k-2）x-4k-3=0，
∴x₁+x₂=2-4k，x₁x₂=-4k-3．
∵y₁=kx₁+3-k，y₂=kx₂+3-k，∴y₁-y₂=k（x₁-x₂）．
根據(jù)兩點間距離公式得到：
M₁M₂=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(x1-x2)2+k2(x1-x2)2

=

1+k2

•

(x1-x2)2

∴M₁M₂=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

(2-4k)2-4(-4k-3)

=4（1+k²）．
又M₁P=

(x1-1)2+(y1-3)2

=

(x1-1)2+(kx1+3-k-3)2

=

1+k2

•

(x1-1)2

；
同理M₂P=

1+k2

•

(x2-1)2

∴M₁P•M₂P=（1+k²）•

(x1-1)2(x2-1)2

=（1+k²）•

[x1x2-(x1+x2)+1]2

=（1+k²）•

[-4k-3-(2-4k)+1]2

=4（1+k²）．
∴M₁P•M₂P=M₁M₂，
∴

M1P•M2P

M1M2

=1為定值．

點評：本題是難度很大的中考壓軸題，綜合考查了初中數(shù)學(xué)的諸多重要知識點：代數(shù)方面，考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)、一次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及二次根式的運算等；幾何方面，考查了平行四邊形、全等三角形、兩點間的距離公式、軸對稱-最短路線問題等．本題解題技巧要求高，而且運算復(fù)雜，因此對考生的綜合能力提出了很高的要求．