【題目】問題原型:如圖①,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BC=a.將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連結(jié)CD.過點(diǎn)D作△BCD的BC邊上的高DE, 易證△ABC≌△BDE,從而得到△BCD的面積為 .
初步探究:如圖②,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a.將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連結(jié)CD.用含a的代數(shù)式表示△BCD的面積,并說明理由.
簡(jiǎn)單應(yīng)用:如圖③,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC=a.將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連結(jié)CD.直接寫出△BCD的面積.(用含a的代數(shù)式表示)
【答案】解:初步探究:△BCD的面積為 . 理由:如圖②,過點(diǎn)D作BC的垂線,與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.
∴∠BED=∠ACB=90°.
∵線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE,
∴AB=BD,∠ABD=90°.
∴∠ABC+∠DBE=90°.
∵∠A+∠ABC=90°.
∴∠A=∠DBE.
在△ABC和△BDE中,
,
∴△ABC≌△BDE(AAS)
∴BC=DE=a.
∵S△BCD= BCDE
∴S△BCD= ;
簡(jiǎn)單應(yīng)用:如圖③,過點(diǎn)A作AF⊥BC與F,過點(diǎn)D作DE⊥BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,
∴∠AFB=∠E=90°,BF= BC= a.
∴∠FAB+∠ABF=90°.
∵∠ABD=90°,
∴∠ABF+∠DBE=90°,
∴∠FAB=∠EBD.
∵線段BD是由線段AB旋轉(zhuǎn)得到的,
∴AB=BD.
在△AFB和△BED中,
,
∴△AFB≌△BED(AAS),
∴BF=DE= a.
∵S△BCD= BCDE,
∴S△BCD= aa= a2 .
∴△BCD的面積為 .
【解析】初步探究:如圖②,過點(diǎn)D作BC的垂線,與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,由垂直的性質(zhì)就可以得出△ABC≌△BDE,就有DE=BC=a.進(jìn)而由三角形的面積公式得出結(jié)論; 簡(jiǎn)單運(yùn)用:如圖③,過點(diǎn)A作AF⊥BC與F,過點(diǎn)D作DE⊥BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,由等腰三角形的性質(zhì)可以得出BF= BC,由條件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE,由三角形的面積公式就可以得出結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握①旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng)短不變,旋轉(zhuǎn)角度大小不變;②旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變;③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變,只是位置變了才能正確解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】探究函數(shù)y=x+ 的圖象與性質(zhì)
(1)函數(shù)y=x+ 的自變量x的取值范圍是;
(2)下列四個(gè)函數(shù)圖象中,函數(shù)y=x+ 的圖象大致是
(3)對(duì)于函數(shù)y=x+ ,求當(dāng)x>0時(shí),y的取值范圍.
請(qǐng)將下面求解此問題的過程補(bǔ)充完整:
解:∵x>0
∴y=x+
=( )2+( )2
=( ﹣ )2+
∵( ﹣ )2≥0,
∴y .
(4)若函數(shù)y= ,則y的取值范圍是
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,線段AC和直線l分別垂直線段AB于點(diǎn)A,B.點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),由A移動(dòng)到B,連接CP,過點(diǎn)P作PD⊥CP交l于點(diǎn)D,設(shè)線段AP的長(zhǎng)為x,BD的長(zhǎng)為y,在下列圖象中,能大致表示y與x之間函數(shù)關(guān)系的是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=BC,以AB為直徑的⊙O分別交AC,BC于點(diǎn)D,E,過點(diǎn)A作⊙O的切線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接AE.
(1)求證:∠ABC=2∠CAF;
(2)過點(diǎn)C作CM⊥AF于M點(diǎn),若CM=4,BE=6,求AE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一個(gè)不透明的盒子里裝有三個(gè)分別寫有數(shù)字6,﹣2,7的小球,它們的形狀、大小、質(zhì)地完全相同,先從盒子里隨機(jī)抽取一個(gè)小球,記下數(shù)字后放回盒子,搖勻后再隨機(jī)取出一個(gè)小球,記下數(shù)字,請(qǐng)你用畫樹狀圖或列表的方法求兩次取出小球上的數(shù)字和大于10的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)A(1,3),與x軸的一個(gè)交點(diǎn)B(4,0),直線y2=mx+n(m≠0)與拋物線交于A,B兩點(diǎn),下列結(jié)論: ①2a+b=0;②abc>0;③方程ax2+bx+c=3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;④拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是(﹣1,0);⑤當(dāng)1<x<4時(shí),有y2<y1 ,
其中正確的是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,﹣3)
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P在拋物線位于第四象限的部分上運(yùn)動(dòng),當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.
(3)直線l經(jīng)過A、C兩點(diǎn),點(diǎn)Q在拋物線位于y軸左側(cè)的部分上運(yùn)動(dòng),直線m經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)Q,是否存在直線m,使得直線l、m與x軸圍成的三角形和直線l、m與y軸圍成的三角形相似?若存在,求出直線m的解析式,若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題呈現(xiàn):
(Ⅰ)如圖1,點(diǎn)E、F、G、H分別在矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上,AE=DG,求證:2S四邊形EFGH=S矩形ABCD . (S表示面積)
(Ⅱ)實(shí)驗(yàn)探究:某數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)小組發(fā)現(xiàn):若圖1中AH≠BF,點(diǎn)G在CD上移動(dòng)時(shí),上述結(jié)論會(huì)發(fā)生變化,分別過點(diǎn)E、G作BC邊的平行線,再分別過點(diǎn)F、H作AB邊的平行線,四條平行線分別相交于點(diǎn)A1、B1、C1、D1 , 得到矩形A1B1C1D1 .
如圖2,當(dāng)AH>BF時(shí),若將點(diǎn)G向點(diǎn)C靠近(DG>AE),經(jīng)過探索,發(fā)現(xiàn):2S四邊形EFGH=S矩形ABCD+S .
如圖3,當(dāng)AH>BF時(shí),若將點(diǎn)G向點(diǎn)D靠近(DG<AE),請(qǐng)?zhí)剿鱏四邊形EFGH、S矩形ABCD與S 之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(Ⅲ)遷移應(yīng)用:
請(qǐng)直接應(yīng)用“實(shí)驗(yàn)探究”中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論解答下列問題:
⑴如圖4,點(diǎn)E、F、G、H分別是面積為25的正方形ABCD各邊上的點(diǎn),已知AH>BF,AE>DG,S四邊形EFGH=11,HF= ,求EG的長(zhǎng).
⑵如圖5,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,點(diǎn)E、H分別在邊AB、AD上,BE=1,DH=2,點(diǎn)F、G分別是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn),且FG= ,連接EF、HG,請(qǐng)直接寫出四邊形EFGH面積的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.
(1)概念理解:如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎?請(qǐng)說明理由.
(2)性質(zhì)探究:試探索垂美四邊形ABCD兩組對(duì)邊AB,CD與BC,AD之間的數(shù)量關(guān)系.
猜想結(jié)論:(要求用文字語言敘述)垂美四邊形兩組對(duì)邊的平方和相等
寫出證明過程(先畫出圖形,寫出已知、求證).
(3)問題解決:如圖3,分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,連接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5,求GE長(zhǎng).
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