Question

已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．
（1）如圖，D為AC上任一點，連接BD，過A點作BD的垂線交過C點與AB平行的直線CE于點E．求證：BD=AE．



（2）若點D在AC的延長線上，如圖，其他條件同（1），請畫出此時的圖形，并猜想BD與AE是否仍然相等？說明你的理由．

Answer 1

證明：（1）∵AB∥CE，
∴∠BAF=∠AEC，∠BAC+∠ACE=180°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACE=90°，
，∵AF⊥BD，
∴∠ABD+∠BAF=90°，∠EAC+∠BAF=90°，
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD和△CAE中，

AB=AC ∠BAC=∠ACE ∠AEC=∠ABD

∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE．



（2）BD與AE仍然相等，
證明：過點C作AB∥CE，過點A作AE⊥BD于點F，
∵AB∥CE，
∴∠BAE=∠AEC，∠BAC+∠ACE=180°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACE=90°，
，∵AF⊥BD，
∴∠ABD+∠BAF=90°，∠EAC+∠BAF=90°，
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD和△CAE中，

∠BAC=∠ACE AB=AC ∠ABD=∠AEC

∴△ABD≌△CAE（ASA）
∴BD=AE．