已知點A(-1,-1)在拋物線y=(k2-1)x2-2(k-2)x+1(其中x是自變量)上.
(1)求拋物線的對稱軸;
(2)若B點與A點關于拋物線的對稱軸對稱,問是否存在與拋物線只交于一點B的直線?如果存在,求符合條件的直線解析式;如果不存在,說明理由.

解:(1)已知點A(-1,-1)在已知拋物線上,
則(k2-1)+2(k-2)+1=-1,
即k2+2k-3=0,
解得 k1=1,k2=-3,…分
當k=1時,函數(shù)y=(k2-1)x2-2(k-2)x+1為一次函數(shù),不合題意,舍去,
當k=-3時,拋物線的解析式為y=8x2+10x+1,…
由拋物線的解析式知其對稱軸為x=-=-=-
即x=-;…

(2)存在.
理由如下:∵點B與點A關于y=(k2-1)x2-2(k-2)x+1對稱,且A(-1,-1),
∴B(-,-1),…
當直線過B(-,-1)且與y軸平行時,此直線與拋物線只有一個交點,
此時的直線為x=-,…
當直線過B(-,-1)且不與y軸平行時,
設直線y=mx+n與拋物線y=8x2+10x+1只交于一點B,
則-m+n=-1,…
即m-4n-4=0,①
把y=mx+n代入y=8x2+10x+1,得8x2+10x+1=mx+n,…
即8x2+(10-m)x+1-n=0,…
由8x2+(10-m)x+1-n=0,△=0,得(10-m)2-32(1-n)=0,②
由①,②得
故所求的直線為y=6x+,
綜上所述,存在與拋物線只交于一點B的直線x=-或y=6x+.…
分析:(1)把點A坐標代入拋物線解析式,計算求出k的值,再根據(jù)拋物線對稱軸x=-進行計算即可得解;
(2)先根據(jù)對稱性求出點B的坐標,再分直線過點B且與y軸平行時,與拋物線只有一個交點,直線過點B不與y軸平行時,設直線解析式為y=mx+n,把點B的坐標代入解析式得到一個關于m、n的方程,再與拋物線解析式聯(lián)立消掉y,得到關于x的一元二次方程,根據(jù)只有一個交點,利用根的判別式△=0,列式整理得到一個關于m、n的方程,兩個方程聯(lián)立求解即可得到m、n的值,從而求出直線解析式.
點評:本題考查了二次函數(shù)的性質,拋物線的對稱軸的求解,拋物線與直線的交點問題,以及根的判別式的應用,本題主要要分情況討論.
練習冊系列答案
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5、已知點A(m,2m)和點B(3,m2-3),直線AB平行于x軸,則m等于(  )

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14、如圖,已知點A,B,C在⊙O上,AC∥OB,∠BOC=40°,則∠ABO=
20
度.

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如圖1,已知點A1,A2,A3是拋物線y=
1
2
x2上的三點,線段A1B1,A2B2,A3B3都垂直于x軸,垂足分別為點B1,B2,B3,延長線段B2A2交線段A1A3于點C.
(1)在圖(1)中,若點A1,A2,A3的橫坐標依次為1,2,3,求線段CA2的長;
(2)若將拋物線改為y=
1
2
x2-x+1,如圖2,點A1,A精英家教網2,A3的橫坐標依次為三個連續(xù)整數(shù),其他條件不變,求線段CA2的長.

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24、對于點O、M,點M沿MO的方向運動到O左轉彎繼續(xù)運動到N,使OM=ON,且OM⊥ON,這一過程稱為M點關于O點完成一次“左轉彎運動”.正方形ABCD和點P,P點關于A左轉彎運動到P1,P1關于B左轉彎運動到P2,P2關于C左轉彎運動到P3,P3關于D左轉彎運動到P4,P4關于A左轉彎運動到P5,….
(1)請你在圖中用直尺和圓規(guī)在圖中確定點P1的位置;
(2)連接P1A、P1B,判斷△ABP1與△ADP之間有怎樣的關系?并說明理由.
(3)以D為原點、直線AD為y軸建立直角坐標系,并且已知點B在第二象限,A、P兩點的坐標為(0,4)、(1,1),請你推斷:P4、P2009、P2010三點的坐標.

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已知點A(0,2)、B(4,0),點C、D分別在直線x=1與x=2上,且CD∥x軸,則AC+CD+DB的最小值為
 

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