Question

如圖，直角坐標(biāo)系內(nèi)的梯形AOBC（O為原點(diǎn)）中AC∥OB，AO⊥OB，AC=1，OA=2，OB=5．
（1）求經(jīng)過O，C，B三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）延長(zhǎng)AC交拋物線于點(diǎn)D，求線段CD的長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從O、D同時(shí)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P沿OB由O向B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿DC由D由C運(yùn)動(dòng)（其中一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后，另一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)也隨之停止），過點(diǎn)Q作QM⊥CD交BC于點(diǎn)M，連接PM．設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，請(qǐng)你探索：當(dāng)時(shí)間t為何值時(shí)，△PMB中有一個(gè)角是直角．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，因此可以設(shè)解析式為y=ax²+bx，再把B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線即可求出二次函數(shù)的解析式．
（2）本題可以根據(jù)C、D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，求出D點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則C、D兩點(diǎn)之差即為所求．
（3）由題意可知，△PMB有一個(gè)角是直角有兩種情況①∠MPB=90°時(shí)，此時(shí)Q、M、P三點(diǎn)在一條直線上，根據(jù)四邊形AOPQ為矩形，求出t；②∠PMB=90°時(shí)，延長(zhǎng)QM交X軸于點(diǎn)N，△PNM∽△MNB，△CQM∽△BNM，求出t．
解答：解：（1）由題意知，O（0，0），C（1，2），B（5，0）．
設(shè)過O、C、B三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx，
將C、B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²+bx，得
可得
∴．

（2）當(dāng)y=2時(shí)，則，
解得，x₁=1，x₂=4．
∴CD=4-1=3；

（3）延長(zhǎng)QM交x軸于點(diǎn)N，有MN⊥OB．
①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，有
MP⊥OB，則四邊形AOPQ是矩形．
∴AQ=OP即4-t=t
∴t=2．
②若MP⊥BM，則△PNM∽△MNB．
∴MN²=PN•BN．
∵CQ∥NB，
∴△CQM∽△BNM．
∴，
即=，
則MN=．
∵BN=1+t，PN=5-（1+t）-t=4-2t，
∴=（4-2t）（t+1）．
解得，t₁=-1（舍去），，
綜合①，②知，當(dāng)t=2或時(shí)，△PMB中有一個(gè)角是直角．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、在坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離，相似三角形等知識(shí)．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．