Question

如圖，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)P在AC上，將△ABP繞頂點(diǎn)B沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△CBQ．
（1）求∠PCQ的度數(shù)；
（2）當(dāng)AB=4，AP：PC=1：3時(shí)，求PQ的大�。�
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（P不與A、C重合），請(qǐng)寫出一個(gè)反映PA²，PC²，PB²之間關(guān)系的等式，并加以證明．

Answer 1

（1）由題意知，△ABP≌△CQB，
∴∠A=∠ACB=∠BCQ=45°，∠ABP=∠CPQ，AP=CQ，PB=BQ，
∴∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=90°，∠ABP+∠PBC=∠CPQ+∠PBC=90°，
∴△BPQ是等腰直角三角形，△PCQ是直角三角形．

（2）當(dāng)AB=4，AP：PC=1：3時(shí)，有AC=4

2

，AP=

2

，PC=3

2

，
∴PQ=

PC2+CQ2

=2

5

．

（3）存在2PB²=PA²+PC²，
由于△BPQ是等腰直角三角形，
∴PQ=

2

PB，
∵AP=CQ，
∴PQ²=PC²+CQ²=PA²+PC²，
故有2PB²=PA²+PC²．