Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與軸交于點C，點B的坐標(biāo)為（3，0），將直線沿軸向上平移3個單位長度后恰好經(jīng)過B、C兩點．

1.求直線BC及拋物線的解析式

2.設(shè)拋物線的頂點為D，點P在拋物線的對稱軸上，且∠APD=∠ACB，求點P的坐標(biāo)；

3.連結(jié)CD，求∠OCA與∠OCD兩角度數(shù)的和

 

Answer 1

 

1.沿軸向上平移3個單位長度后經(jīng)過軸上的點，．

設(shè)直線的解析式為．在直線上，．

解得，直線的解析式為．   ……………………………1分

拋物線過點，

解得

拋物線的解析式為．             ………………………3分

2.由．

可得．，，，．

可得是等腰直角三角形．

，．

如圖，設(shè)拋物線對稱軸與軸交于點，

．

過點作于點．．可得，．

在與中，，，

．，．解得．……………5分

點在拋物線的對稱軸上，

點的坐標(biāo)為或．                 ………………………………7分

3.作點A（1,0）關(guān)于y軸的對稱點A′，則A′（-1,0）。

連結(jié)A′C，A′D，可得A′C=AC=，∠OC A′=∠OCA。

由勾股定理可得CD²=20， A′D²=10，

又 A′C²=10∴ A′D²+ A′C²=CD²。

∴△ A′DC是等腰直角三角形，∠C A′D=90º，

∴∠DC A′=45º，∴∠OC A′+∠OCD=45º，∴∠OCA+∠OCD=45º，

即∠OCA與∠OCD兩角和的度數(shù)為45º。    ………………………………………10分

解析:（1）依題意設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3，把B點坐標(biāo)代入解析式求出直線BC的表達(dá)式．然后又已知拋物線y=x²+bx+c過點B，C，代入求出解析式．

（2）由y=x²-4x+3求出點D，A的坐標(biāo)．得出三角形OBC是等腰直角三角形求出∠OBC，CB的值．過A點作AE⊥BC于點E，求出BE，CE的值．證明△AEC∽△AFP求出PF可得點P在拋物線的對稱軸，求出點P的坐標(biāo)．

（3）本題要靠輔助線的幫助．作點A（1，0）關(guān)于y軸的對稱點A'，則A'（-1，0），求出A'C=AC，由勾股定理可得CD，A'D的值．得出△A'DC是等腰三角形后可推出∠OCA+∠OCD=45度．