Question

已知p，q都是質數(shù)，且使得關于x的二次方程x²-（8p-10q）x+5pq=0至少有一個正整數(shù)根，求所有的質數(shù)對（p，q）．

Answer 1

解：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系可得：x₁+x₂=8p-10q，
x₁•x₂=5pq，
質數(shù)都是正整數(shù)．所以5pq肯定是正整數(shù)，
有一根是正整數(shù)，x₁x₂肯定都是正整數(shù)，
可以知道有幾種可能，
x₁=5 x₂=pq；x₁=5p x₂=q；x₁=5q x₂=p；x₁=1，x₂=5pq；
將x₁，x₂代入 x₁+x₂=8p-10q，
5+pq=8p-10q，（1）
p（q-8）+10（q-8）+80+5=0，
（q-8）（p+10）=-85=-5×17=-1×85，
q=3，p=7，或q=7，p=75（舍去），
5p+q=8p-10q，11q=3p，（2）
p=11，q=3，
5q+p=8p-10q，15q=7p，（3）
p=15，q=7（舍去），
5pq+1=8p-10q，（4）
5q（p+2）-8（p+2）+16+1=0，
（p+2）（5q-8）=-17，
p=15，q=（舍去），p=-1，q=-（舍去），q=，p=-19（舍去），q=5，p=-3（舍去），
最后p=11，q=3，
或p=7，q=3．
故存在兩對質數(shù)（11，3）和（7，3）．
分析：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系可得方程的兩個根的積是5pq，而兩個根都是正整數(shù)，因而可以用p，q表示出方程的兩根，再根據(jù)兩根的和是8p-10q即可求得p，q的值．
點評：本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關系，正確根據(jù)質數(shù)的性質利用p，q表示出方程的兩根，是解決本題的關鍵．