Question

【題目】如圖，拋物線的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A，B，D，頂點(diǎn)為E，以AB為直徑畫半圓交y正半軸交于點(diǎn)C，圓心為M，P是半圓上的一動(dòng)點(diǎn)，連接EP．①點(diǎn)E在⊙M的內(nèi)部；②CD的長(zhǎng)為；③若P與C重合，則∠DPE＝15°；④在P的運(yùn)動(dòng)過程中，若AP＝ ，則PE＝⑤N是PE的中點(diǎn)，當(dāng)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是2π．其中結(jié)論正確的是______________

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

①ME=2=AM，∴E應(yīng)該在⊙M上，即可求解；

②CD=2×=3，故CD的長(zhǎng)為

③過點(diǎn)D作DH⊥ME，由DH=1，MD=R=2，故∠DME=30°，則∠DPE=15°，即可求解；

④ AK=AEsinα=2×=，同理EK=,則PK=,即可求解；

⑤點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡為以R為圓心的半圓，則N運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)=×2πr=π,

解：拋物線的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A，B，D，

則點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)分別為：（-1，0）、（3，0）、（0，-），則點(diǎn)M（1，0），
頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（1，-2），AB=4，CO=，OD=，故點(diǎn)D不在⊙M上；
①ME=2=AM，∴E應(yīng)該在⊙M上，故不符合題；
②C是圓M與y軸交點(diǎn)，圓M半徑為2，M（1，0）由勾股定理得OC=，
CD=2×=3，故CD的長(zhǎng)為，符合題意；
③如圖1，連接DP、ME，點(diǎn)D、E均在⊙M上，

過點(diǎn)D作DH⊥ME于H，
∵DH=1，MD=R=2，
故∠DME=30°，則∠DPE=15°，符合題意；
④如圖2，連接PB、PA、AE，
∵點(diǎn)B、E均在圓上，則∠ABP=∠AEP=α，
sin∠AEP=sin∠ABP==sinα，則cosα=，

過點(diǎn)A作AK垂直于PE于K，則AK=AEsinα=2×=，EK=AEcosα═，則PK=AK=，故則PE=，符合題意；
⑤如圖3，圖中實(shí)點(diǎn)G、N、M、F是點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)中所處的位置，

則GF是等腰直角三角形的中位線，GF=AB=2，ME交AB于點(diǎn)R，則四邊形GEFM為正方形，當(dāng)點(diǎn)P在半圓任意位置時(shí)，中點(diǎn)為N，連接MN，則MN⊥PE，連接NR，
則NR=ME=MR=RE=RG=RF=GF=1，則點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡為以R為圓心的半圓，則N運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)=×2πr=π，故不符合題意；
故答案為：②③④．