Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E在AB邊上且BE=1，點(diǎn)P，Q分別是邊BC，CD的動(dòng)點(diǎn)（均不與頂點(diǎn)重合），當(dāng)四邊形AEPQ的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，四邊形AEPQ的面積是 ．

Answer 1

【答案】

【解析】

試題分析：根據(jù)最短路徑的求法，先確定點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，再確定點(diǎn)A關(guān)于DC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′E′即可得出P，Q的位置；再根據(jù)相似得出相應(yīng)的線(xiàn)段長(zhǎng)從而可求得四邊形AEPQ的面積．

解：如圖1所示

，

作E關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，點(diǎn)A關(guān)于DC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′E′，四邊形AEPQ的周長(zhǎng)最小，

∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，

∴AA′=6，AE′=4．

∵DQ∥AE′，D是AA′的中點(diǎn)，

∴DQ是△AA′E′的中位線(xiàn)，

∴DQ=AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，

∵BP∥AA′，

∴△BE′P∽△AE′A′，

∴=，即=，BP=，CP=BC﹣BP=3﹣=，

S四邊形AEPQ=S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP=9﹣AD×DQ﹣CQ×CP﹣BE×BP

=9﹣×3×2﹣×1×﹣×1×=，

故答案為：．