Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，點P是BC邊上的一個動點（點P不與點B、C重合），現將△PCD沿直線PD折疊，使點C落到點C′處；作∠BPC′的角平分線交AB于點E．設BP=x，BE=y，則下列圖象中，能表示y與x的函數關系的圖象大致是（ ）

A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：如圖，連接DE，∵△PC′D是△PCD沿PD折疊得到，
∴∠CPD=∠C′PD，
∵PE平分∠BPC′，
∴∠BPE=∠C′PE，
∴∠EPC′+∠DPC′= ×180°=90°，
∴△DPE是直角三角形，
∵BP=x，BE=y，AB=3，BC=5，
∴AE=AB﹣BE=3﹣y，CP=BC﹣BP=5﹣x，
在Rt△BEP中，PE2=BP2+BE2=x2+y2 ，
在Rt△ADE中，DE2=AE2+AD2=（3﹣y）2+52 ，
在Rt△PCD中，PD2=PC2+CD2=（5﹣x）2+32 ，
在Rt△PDE中，DE2=PE2+PD2 ，
則（3﹣y）2+52=x2+y2+（5﹣x）2+32 ，
整理得，﹣6y=2x2﹣10x，
所以y=﹣ x2+ x（0＜x＜5），
縱觀各選項，只有D選項符合．
故選：D．

連接DE，根據折疊的性質可得∠CPD=∠C′PD，再根據角平分線的定義可得∠BPE=∠C′PE，然后證明∠DPE=90°，從而得到△DPE是直角三角形，再分別表示出AE、CP的長度，然后利用勾股定理進行列式整理即可得到y(tǒng)與x的函數關系式，根據函數所對應的圖象即可得解．