Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A(2，0)，B(0，4),點(diǎn) C 在第一象限.

（1）如圖 1，連接 AB、BC、AC，∠OBC=90°，∠BAC=2∠ABO,求點(diǎn) C 的坐標(biāo)；

（2）動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) B 出發(fā)，以每秒 2 個(gè)單位的速度沿 x 軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，連接 AP，設(shè) P 點(diǎn)的 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒，△AOP 的面積為 S，用含 t 的式子表示 S，并直接寫出 t 的取值范圍；

（3）如圖 2，在（1）條件下，點(diǎn) P 在線段 OB 上，連接 AP、PC,AB 與 PC 相交于點(diǎn) Q,當(dāng)S=3, ∠BAC=∠BPC 時(shí)，求△ACQ 的面積.

圖 1 圖 2

Answer 1

【答案】（1）C（4,4）；（2）；（3） .

【解析】分析: （1） 作AD⊥BC于D,可得D（4,2），BD=2,根據(jù)△ABD≌△ACD，得BC=4，從而

可知C點(diǎn)坐標(biāo).

（2）分兩種情況根據(jù)三角形的面積公式即可求出,一種是當(dāng)時(shí),此時(shí)點(diǎn)P在OB上;另一種是點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),此時(shí).

（3） 作AE⊥PC于E，作BF⊥PC于F,作CG⊥AB于G,可得BP=3,OP=1,由（1）中△ABD≌△ACD得AB=AC,易證△ACE≌△ABO, △AOP≌△AEP,從而得PC=5由面積法，可求BF=2.4,從而AE:BF=5:6由面積法得,因此.

詳解:

（1） 過點(diǎn)A作AD⊥BC于D,

∵點(diǎn) A(2，0)，B(0，4), ∠OBC=90°，

∴D（4,2），

∴BD=2,

∵∠BAC=2∠ABO,

∴∠BAD=∠CAD,

又∵AD=AD, ∠ADB=∠ADC,

∴△ABD≌△ACD，

∴BC=4，

∴C（4,4）

（2）當(dāng)點(diǎn)P在OB上時(shí),,

由題意得OA=2,OP=4-2t,

∴S=2×(4-2t) ×=4-2t;

當(dāng)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上時(shí),,

由題意得OA=2,OP=2t- 4,

∴S=2×(2t- 4) ×=2t- 4;

綜上,

（3） 作AE⊥PC于E，作BF⊥PC于F,作CG⊥AB于G

∵S=3,

∴可得BP=3,OP=1

由（1）△ABD≌△ACD

∴AB=AC

∵∠BAC=∠BPC

∴∠ACP=∠ABP

易證△ACE≌△ABO,

△AOP≌△AEP,

∴CE=BO=4,OP=EP=1，

AO=AE=2

∴PC=5（1分）

由面積法，可求BF=2.4

∴AE:BF=5:6

由面積法,

∴