Question

11．如果一個(gè)正整數(shù)能表示成兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”．如4=2²-0²，12=4²-2²，20=6²-4²，則說明4，12，20都是神秘?cái)?shù)．
（1）28和2012是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？
（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k和2k+2（k為非負(fù)整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)成的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)嗎？
（3）兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)（取正整數(shù)）的平方差是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“神秘?cái)?shù)”的定義，只需看能否把28和2012這兩個(gè)數(shù)寫成兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差即可判斷；
（2）運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而判斷即可；
（3）運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而判斷即可．

解答 解：（1）∵28=8²-6²，2012=504²-502²，
∴28是“神秘?cái)?shù)”；2012是“神秘?cái)?shù)”；
（2）兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)成的“神秘?cái)?shù)”是4的倍數(shù)．理由如下：
（2k+2）²-（2k）²=（2k+2+2k）（2k+2-2k）=2（4k+2）=4（2k+1），
∴兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)成的“神秘?cái)?shù)”是4的倍數(shù)，
∵2k+1是奇數(shù)，
∴它是4的倍數(shù)，不是8的倍數(shù)；
（3）設(shè)兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)為：2k+1，2k-1，則
（2k+1）²-（2k-1）²=8k，
此數(shù)是8的倍數(shù)，而由（2）知“神秘?cái)?shù)”是4的倍數(shù)，但不是8的倍數(shù)，
所以兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)的平方差不是神秘?cái)?shù)．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了平方差公式的應(yīng)用，此題是一道新定義題目，熟練記憶平方差公式是解題關(guān)鍵．