Question

如圖，已知拋物線y=

3

4

x²+bx+c與坐標軸交于A、B、C三點，A點的坐標為（-1，0），過點C的直線y=

3

4t

x-3與x軸交于點Q，點P是線段BC上的一個動點，過P作PH⊥OB于點H．若PB=5t，且0＜t＜1．
（1）填空：點C的坐標是______，b=______，c=______；
（2）求線段QH的長（用含t的式子表示）；
（3）依點P的變化，是否存在t的值，使以P、H、Q為頂點的三角形與△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）（0，-3），b=-

9

4

，c=-3；

（2）由（1），得y=

3

4

x²-

9

4

x-3，它與x軸交于A，B兩點，得B（4，0）．
∴OB=4，
又∵OC=3，
∴BC=5．
由題意，得△BHP∽△BOC，
∵OC：OB：BC=3：4：5，
∴HP：HB：BP=3：4：5，
∵PB=5t，∴HB=4t，HP=3t．
∴OH=OB-HB=4-4t．
由y=

3

4t

x-3與x軸交于點Q，得Q（4t，0）．
∴OQ=4t．
①當H在Q、B之間時，QH=OH-OQ=（4-4t）-4t=4-8t．
②當H在O、Q之間時，QH=OQ-OH=4t-（4-4t）=8t-4．
綜合①，②得QH=|4-8t|；

（3）存在t的值，使以P、H、Q為頂點的三角形與△COQ相似．
①當H在Q、B之間時，QH=4-8t，
若△QHP∽△COQ，則QH：CO=HP：OQ，得

4-8t

3

=

3t

4t

，
∴t=

7

32

．
若△PHQ∽△COQ，則PH：CO=HQ：OQ，得

3t

3

=

4-8t

4t

，
即t²+2t-1=0．
∴t₁=

2

-1，t₂=-

2

-1（舍去）．
②當H在O、Q之間時，QH=8t-4．
若△QHP∽△COQ，則QH：CO=HP：OQ，得

8t-4

3

=

3t

4t

，
∴t=

25

32

．
若△PHQ∽△COQ，則PH：CO=HQ：OQ，得

3t

3

=

8t-4

4t

，
即t²-2t+1=0．
∴t₁=t₂=1（舍去）．
綜上所述，存在t的值，t₁=

2

-1，t₂=

7

32

，t₃=

25

32

．