【題目】如圖,AB是半徑為2的O的弦,將沿著弦AB折疊,正好經(jīng)過圓心O,點(diǎn)C是折疊后的上一動(dòng)點(diǎn),連接并延長BC交O于點(diǎn)D,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),連接AC,AD,EO.則下列結(jié)論:①∠ACB=120°,②△ACD是等邊三角形,EO的最小值為1,其中正確的是_____.(請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填在橫線上)

【答案】①②

【解析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知,結(jié)合垂徑定理、三角形的性質(zhì)、同圓或等圓中圓周角與圓心的性質(zhì)等可以判斷①②是否正確,EO的最小值問題是個(gè)難點(diǎn),這是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題,只要把握住E在什么軌跡上運(yùn)動(dòng),便可解決問題.

如圖1,連接OA和OB,作OF⊥AB.
由題知: 沿著弦AB折疊,正好經(jīng)過圓心O
∴OF=OA= OB
∴∠AOF=∠BOF=60°
∴∠AOB=120°
∴∠ACB=120°(同弧所對(duì)圓周角相等)
∠D=∠AOB=60°(同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半)
∴∠ACD=180°-∠ACB=60°
∴△ACD是等邊三角形(有兩個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形)
故,①②正確

下面研究問題EO的最小值是否是1

如圖2,連接AE和EF
∵△ACD是等邊三角形,E是CD中點(diǎn)
∴AE⊥BD(三線合一)
又∵OF⊥AB
∴F是AB中點(diǎn)
即,EF是△ABE斜邊中線
∴AF=EF=BF
即,E點(diǎn)在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng).
所以,如圖3,當(dāng)E、O、F在同一直線時(shí),OE長度最小
此時(shí),AE=EF,AE⊥EF
∵⊙O的半徑是2,即OA=2,OF=1
∴AF= (勾股定理)
∴OE=EF-OF=AF-OF=-1
所以,③不正確
綜上所述:①②正確,③不正確.
故答案是:①②.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(﹣1,3)、(﹣4,1)、(﹣2,1),將△ABC沿一確定方向平移得到△A1B1C1,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo)是(1,2),則點(diǎn)A1,C1的坐標(biāo)分別是 ( 。

A. A1(4,4),C1(3,2) B. A1(3,3),C1(2,1)

C. A1(4,3),C1(2,3) D. A1(3,4),C1(2,2)

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1)證明:⊿ABC ≌ ⊿DCB

2)求∠AEB的大。

3)如圖2,△OAB固定不動(dòng),保持△OCD的形狀和大小不變,將△OCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)(△OAB△OCD不能重疊),求∠AEB的大小.

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【題目】我校舉行漢字聽寫比賽,每位學(xué)生聽寫漢字39個(gè),比賽結(jié)束后隨機(jī)抽查部分學(xué)生的聽寫結(jié)果,以下是根據(jù)抽查結(jié)果繪制的統(tǒng)計(jì)圖的一部分.

組別

正確數(shù)字x

人數(shù)

A

0≤x8

10

B

8≤x16

15

C

16≤x24

25

D

24≤x32

m

E

32≤x40

n

根據(jù)以上信息解決下列問題:

1)在統(tǒng)計(jì)表中,m=   ,n=   ,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.

2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中“C所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)是   

3)有三位評(píng)委老師,每位老師在E組學(xué)生完成學(xué)校比賽后,出示通過淘汰待定的評(píng)定結(jié)果.學(xué)校規(guī)定:每位學(xué)生至少獲得兩位評(píng)委老師的通過才能代表學(xué)校參加鄂州市漢字聽寫比賽,請(qǐng)用樹形圖求出E組學(xué)生王云參加鄂州市漢字聽寫比賽的概率.

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I)若點(diǎn)P落在矩形OBCD的邊OB上,

①如圖①,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合時(shí),求點(diǎn)F的坐標(biāo);

②如圖②,當(dāng)點(diǎn)EOB上,點(diǎn)FDC上時(shí),EFDP交于點(diǎn)G,若,求點(diǎn)F的坐標(biāo):

(Ⅱ)若點(diǎn)P落在矩形OBCD的內(nèi)部,且點(diǎn)E,F分別在邊OD,邊DC上,當(dāng)OP取最小值時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可)。

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1)如圖1,當(dāng)AE=1時(shí),求長;

2)如圖2,把沿著直線翻折得到,設(shè)

①當(dāng)點(diǎn)F落在斜邊上時(shí),求的值;

如圖3,當(dāng)點(diǎn)F落在外部時(shí),EF、DF分別與相交于點(diǎn)HG,如果△ABC和△DEF重疊部分的面積為,求的函數(shù)關(guān)系式及定義域.(直接寫出答案)

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