【題目】解答
(1)如圖,在直線m的同側(cè)有A,B兩點,在直線m上找點P,Q,使PA+PB最小,|QB﹣QA|最大(保留作圖痕跡)

(2)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩點A(2,3),B(4,5),請分別在x軸,y軸上找點P,Q,使PA+PB最小,|QB﹣QA|最大,則點P,Q的坐標(biāo)分別為 ,
(3)代數(shù)式 + 的最小值是 , 此時x=
(4)代數(shù)式 的最大值是 , 此時x=

【答案】
(1)解:①作點A關(guān)于直線m的對稱點A′,連接A′B與直線m交于點P,此時PA+PB最小,點P如圖所示.

②延長BA交直線m于Q,此時,|QB﹣QA|最大,點Q如圖所示.


(2)( ,0);(0,1)
(3)10;
(4)2;﹣1
【解析】解(2)點A關(guān)于x軸的對稱點A′(2,﹣3),
直線A′B的解析式為y=4x﹣11,y=0時,x= ,
所以點P坐標(biāo)( ,0).
直線AB解析式為y=x+1,與y軸的交點為(0,1),
所以點Q坐標(biāo)(0,1).
所以答案是( ,0),(0,1)
3)∵ + = + ,
欲求 + 的最小值,
可以看作在x軸上找一點P,使得點P到(4,5),(2,3)的距離之和最小,
由(2)可知x= ,最小值= =10,
所以答案是10,
4)∵
欲求 的最大值,
可以看作在x軸上找一點Q,使得Q到A(2,3),B(4,5)的距離之和最大,
∵直線AB解析式為y=x+1,與x軸交于點Q(﹣1,0),
∴x=﹣1時,此時最大值=2
所以答案是2 ,﹣1.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解軸對稱-最短路線問題的相關(guān)知識,掌握已知起點結(jié)點,求最短路徑;與確定起點相反,已知終點結(jié)點,求最短路徑;已知起點和終點,求兩結(jié)點之間的最短路徑;求圖中所有最短路徑.

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