Question

如圖，拋物線經(jīng)過A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三點(diǎn)．
（1）求出拋物線的解析式；
（2）P是（1）中拋物線AB段上一動(dòng)點(diǎn)，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點(diǎn)，使得以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△ACO相似？若存在，請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)D，使得△DCA的面積最大，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閽佄锞�經(jīng)過A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三點(diǎn)，代入三點(diǎn)可確定解析式．
（2）如圖，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，相應(yīng)的可求出縱坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，對應(yīng)邊成比例，可求出m的值，進(jìn)而求出P的值．
（3）確定D點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍，求出△DCA的面積的函數(shù)式，根據(jù)取值范圍可確定最大值．

解答：解：（1）∵該拋物線過點(diǎn)C（0，-2），
∴可設(shè)該拋物線的解析式為y=ax²+bx-2．
將A（4，0），B（1，0）代入，得

16a+4b-2=0 a+b-2=0.

（1分）
解得

a=- 1 2 b= 5 2 .

，
∴此拋物線的解析式為y=-

1

2

x2+

5

2

x-2；（3分）

（2）存在．（4分）
如圖，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，
∵P是拋物線AB段上一動(dòng)點(diǎn)，∴1＜m＜4，
則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-

1

2

m2+

5

2

m-2，
當(dāng)1＜m＜4時(shí)，AM=4-m，PM=-

1

2

m2+

5

2

m-2．
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①當(dāng)

AM

PM

=

AO

OC

=

2

1

時(shí)，△APM∽△ACO，
即4-m=2(-

1

2

m2+

5

2

m-2)．
解得m₁=2，m₂=4（舍去），∴P（2，1）．如圖（5分）
②當(dāng)

AM

PM

=

OC

OA

=

1

2

時(shí)，△APM∽△CAO，
即2(4-m)=-

1

2

m2+

5

2

m-2．
解得m₁=4，m₂=5（均不合題意，舍去）
∴當(dāng)1＜m＜4時(shí)，P（2，1）．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P為（2，1）；
（3）如圖，設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜4），則D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-

1

2

t²+

5

2

t-2．
過D作y軸的平行線交AC于E．
設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，將A與C坐標(biāo)代入得：

4k+b=0 b=-2

，
解得：

k= 1 2 b=-2

，
∴直線AC的解析式為y=

1

2

x-2．
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，

1

2

t-2）．
∴DE=-

1

2

t²+

5

2

t-2-（

1

2

t-2）=-

1

2

t²+2t，
∴S_△DAC=S_△DCE+S_△DEA=

1

2

DE•h+

1

2

DE•（4-h）=

1

2

DE•4，
∴S△DAC=

1

2

×（-

1

2

t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4，
∴當(dāng)t=2時(shí)，△DAC面積最大．
∴D（2，1）．

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，通過已知點(diǎn)來確定函數(shù)式，和通過相似三角形的性質(zhì)確定點(diǎn)的坐標(biāo)，以及通過函數(shù)式和取值范圍求得最大值．