【題目】類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法,在數(shù)學學習和研究中經(jīng)常用到,請看下面的案例.
(1)如圖1,已知△ABC,分別以AB、AC為邊,在BC同側(cè)作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE,連接CD,BE.
通過證明△ ADC ≌△ ABE ,得到DC=BE;
(2)如圖2,四邊形ABCD中,點E,F(xiàn),G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點,順次連接E、F、G、H,得到四邊形EFGH,我們稱四邊形EFGH為四邊形ABCD的中點四邊形,連接BD,利用三角形中位線的性質(zhì),可得EH∥BD,EH= BD,同理可得FG∥BD,F(xiàn)G= BD,所以EH∥FG,EH=FG,所以四邊形EFGH是平行四邊形;
拓展應用
①如圖3,點P是四邊形ABCD內(nèi)一點,且滿足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,點E,F(xiàn),G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點,猜想四邊形EFGH的形狀,并證明;
(3)若改變(2)中的條件,使∠APB=∠CPD=90°,其他條件不變,四邊形EFGH的形狀是 .
【答案】
(1)解:如圖1,
∵△ABD和△ACE都是等邊三角形,
∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠DAC=∠BAE,
在△ADC和△ABE中
,
∴△DAC≌△BAE(SAS),
∴DC=BE
(2)證明:四邊形EFGH為菱形;理由如下:
連接AC、BD,如圖3,
∵∠APB=∠CPD,
∴∠APB+APD=∠CPD+∠APD,即∠BPD=∠APC,
在△PBD和△APC中
,
∴△PBD≌△APC,
∴BD=AC,
∵HG= AC,HE= BD,
∴HG=HE,
∵四邊形HEFG為平行四邊形,
∴四邊形EFGH為菱形
(3)正方形
【解析】解: (3)AC與BD相交于點M,BD交AP于N,如圖3,
∵△PBD≌△APC,
∴∠PBD=∠PAC,
而∠ANM=∠BNP,
∴∠AMN=∠APB=90°,
∴AC⊥BD,
∵EH∥BD,HG∥AC,
∴EH⊥HG,
∴∠EHG=90°,
∵四邊形EFGH為菱形,
∴四邊形EFGH為正方形.
所以答案是:正方形.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解菱形的判定方法的相關知識,掌握任意一個四邊形,四邊相等成菱形;四邊形的對角線,垂直互分是菱形.已知平行四邊形,鄰邊相等叫菱形;兩對角線若垂直,順理成章為菱形,以及對正方形的判定方法的理解,了解先判定一個四邊形是矩形,再判定出有一組鄰邊相等;先判定一個四邊形是菱形,再判定出有一個角是直角.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,且AB為⊙O的直徑,OD⊥AB,與AC交于點E,與過點C的⊙O的切線交于點D.
(1)若AC=4,BC=2,求OE的長.
(2)試判斷∠A與∠CDE的數(shù)量關系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市一湖的湖心島有一顆百年古樹,當?shù)厝朔Q它為“鄉(xiāng)思柳”,不乘船不易到達,每年初春時節(jié),人們喜歡在“聚賢亭”觀湖賞柳.小紅和小軍很想知道“聚賢亭”與“鄉(xiāng)思柳”之間的大致距離,于是,有一天,他們倆帶著側(cè)傾器和皮尺來測量這個距離.測量方法如下:如圖,首先,小軍站在“聚賢亭”的A處,用側(cè)傾器測得“鄉(xiāng)思柳”頂端M點的仰角為23°,此時測得小軍的眼睛距地面的高度AB為1.7米,然后,小軍在A處蹲下,用側(cè)傾器測得“鄉(xiāng)思柳”頂端M點的仰角為24°,這時測得小軍的眼睛距地面的高度AC為1米.請你利用以上測得的數(shù)據(jù),計算“聚賢亭”與“鄉(xiāng)思柳”之間的距離AN的長(結(jié)果精確到1米).(參考數(shù)據(jù):sin23°≈0.3907,cos23°≈0.9205,tan23°≈0.4245,sin24°≈0.4067,cos24°≈0.9135,tan24°≈0.4452.)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一只貓頭鷹一年能吃300只田鼠,一只田鼠一年大約要糟蹋2千克糧食,現(xiàn)有m只貓頭鷹,一年可以減少損失糧食_____千克.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,以為直徑作圓,分別交于點,交的延長線于點,過點作于點,連接交線段于點.
(1)求證:是圓的切線;
(2)若為的中點,求的值;
(3)若,求圓的半徑.
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