Question

如圖，一次函數(shù)y=kx+2的圖象與反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象交于點P，點P在第一象限，PA⊥x軸于點A，PB⊥y軸于點B．一次函數(shù)的圖象分別交x軸、y軸于點C、D，且S_△PBD=4，

OC

OA

=

1

2

．
（1）求點D的坐標及BD長；
（2）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
（3）根據(jù)圖象直接寫出當x＞0時，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)值的x的取值范圍；
（4）若雙曲線上存在一點Q，使以B、D、P、Q為頂點的四邊形是直角梯形，請直接寫出符合條件的Q點的坐標．

Answer 1

分析：（1）把x=0代入y=kx+2即可求出D的坐標；根據(jù)相似三角形的判定得出

OD

AP

=

OC

0A

，求出AP，即可求出BD；
（2）根據(jù)三角形PBD的面積求出P的坐標，把P的坐標分別代入一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式求出即可；
（3）根據(jù)圖象上P的坐標求出即可；
（4）作DQ∥x軸，把y=2代入反比例函數(shù)的解析式，求出即可．

解答：解：（1）在y=kx+2中，當x=0，得：y=2，
∴點D的坐標是（0，2），
∵AP∥OD，
∴△PAC∽△DOC，
∵

OC

OA

=

1

2

，
∴

OD

AP

=

OC

AC

=

1

3

，
∴AP=6，
∵BD=6-2=4，
答：點D的坐標是（0，2），BD的長是4．

（2）∵S_△PBD=

1

2

PB•BD=

1

2

×PB×4=4，
∴BP=2，
∴P（2，6），
把P（2，6）分別代入y=kx+2和y=

m

x

得：k=2，m=12，
∴一次函數(shù)的解析式是y=2x+2，反比例函數(shù)的解析式是y=

12

x

，

（3）由圖形可知一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)值的x的取值范圍是x＞2．

（4）Q（6，2）．

點評：本題綜合考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式，直角梯形，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題等知識點，此題綜合性比較強，培養(yǎng)了學生分析問題和解決問題的能力，同時也培養(yǎng)了學生的觀察能力，數(shù)形結合思想的巧妙運用．