Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BC=5，CD=6，∠DCB=60°，等邊△PMN（N為固定點(diǎn)）的邊長(zhǎng)為x，邊MN在直線BC上，NC=8．將直角梯形ABCD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到①的位置，再繞點(diǎn)D₁按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到②的位置，如此旋轉(zhuǎn)下去．
（1）將直角梯形按此方法旋轉(zhuǎn)四次，如果等邊△PMN的邊長(zhǎng)為x≥5+3

3

，求梯形與等邊三角形的重疊部分的面積；
（2）將直角梯形按此方法旋轉(zhuǎn)三次，如果梯形與等邊三角形的重疊部分的面積是

19 3

2

，求等邊△PMN的邊長(zhǎng)x的范圍．
（3）將直角梯形按此方法旋轉(zhuǎn)三次，如果梯形與等邊三角形的重疊部分的面積是梯形面積的一半，求等邊△PMN的邊長(zhǎng)x．

Answer 1

分析：（1）解本題要先判斷出轉(zhuǎn)2次后A點(diǎn)與N點(diǎn)的距離，根據(jù)題意，轉(zhuǎn)2次的路程應(yīng)該是CD+AD，如果過D作DF⊥BC，那么AD=BF=BC-CF，在直角三角形DCF中，CF=3，DF=3

3

，因此AD=2那么轉(zhuǎn)動(dòng)兩次后的路程是6+2=8，因此轉(zhuǎn)動(dòng)兩次后A，N兩點(diǎn)是重合的，那么再看第三次和第四次轉(zhuǎn)動(dòng)的長(zhǎng)度，即AB+BC的長(zhǎng)，為5+3

3

，那么根據(jù)題意可知，梯形完全在等邊三角形內(nèi)，因此重合部分的面積其實(shí)就是梯形的面積．根據(jù)梯形的面積計(jì)算方法和已知的數(shù)據(jù)即可求出梯形的面積．
（2）本題的關(guān)鍵是要判斷出旋轉(zhuǎn)3次后哪些是重合部分，如果設(shè)旋轉(zhuǎn)3次后PN與DC交于N，那么先要求出四邊形CBNK的面積是多少，如果四邊形的面積大于

19 3

2

，則說明四邊形CBNK只有部分在等邊三角形內(nèi)，如果四邊形的面積等于

19 3

2

，就說明四邊形CBNK全部在等邊三角形內(nèi)，這點(diǎn)對(duì)判斷等邊三角形的邊長(zhǎng)的取值范圍至關(guān)重要．那么先求四邊形CBNK的面積．由于四邊形的面積=梯形的面積-三角形NKD的面積，那么關(guān)鍵是求出三角形NDK的面積，已知了三角形的底邊ND的長(zhǎng)，可過K作ND邊上的高KH，那么直角三角形NKH中，∠KNH=30°，∠NDK=120°，由此可得出∠HKD=∠HDK=30°，KD=AD=2，那么可求出DH，KH的長(zhǎng)，也就求出了三角形NDK的面積，進(jìn)而可得出四邊形CBNK的面積為

19 3

2

，由此可得出四邊形CBNK全部在等邊三角形內(nèi)，那么可通過計(jì)算此時(shí)等邊三角形的邊長(zhǎng)最小的情況來得出等邊三角形的邊長(zhǎng)的取值范圍，過C作PM的平行線EG，然后在上下兩個(gè)直角三角形中分別求出CE和CG，那么EG就是等邊三角形邊長(zhǎng)的最小值，由此可得出等邊三角形的邊長(zhǎng)的取值范圍．
（3）本題要先判斷等邊三角形邊長(zhǎng)的大致范圍，因?yàn)檫@影響到重合部分的面積的計(jì)算方法，可過B作PM的平行線BK，過E作PM的平行線EG交CD于H，那么要先判斷四邊形BHEN的面積是否是梯形面積的一半，也就是求三角形BHC和NDE的面積和是否為梯形面積的一半，我們可求的兩三角形的面積和小于梯形的面積的一半，那么等邊三角形的PM邊必在BK與GE中間，那么我們?cè)O(shè)這邊為RK還是交CD于H，那么可先求出三角形GEN的面積，然后可根據(jù)GEN與RNH相似，用相似比表示出三角形RNH的面積，然后再求出三角形HKE的面積，這樣四邊形RHEN的面積=三角形RNH的面積-三角形HKE的面積=梯形的面積的一半，由此可得出關(guān)于x的方程，求出x的值即可．

解答：
解：
（1）過點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F，
∵CD=6，∠DCB=60°，
∴∠CDF=30°，
∴CF=

1

2

DC=3，DF=3

3

，
∴BF=BC-CF=2，
又∵梯形ABCD為直角梯形，
∴∠A=∠B=90°而∠DFB=90°，
∴四邊形ABFD為矩形，
∴AD=BF=2，
∴A₂D₁+D₁C=2+6=8，
又∵NC=8，
∴點(diǎn)N與A₂重合，
∵C₄N=B₃C₄+B₃N=5+3

3

，
又∵M(jìn)N＞5+3

3

，
∴直角梯形與等邊三角形的重疊部分即為整個(gè)直角梯形，
∴S_重疊部分=

1

2

(2+5)3

3

=

21 3

2

．


（2）過點(diǎn)C₃作GE∥MP交MN于點(diǎn)G，交NP于占E，
則△GNE為等邊三角形，
過點(diǎn)K作KH⊥B₂N，垂足為H，
在Rt△NKH中∠KNH=30°，∠ND₃K=120°，
∴∠KNH=∠NKD₃，
∴ND₃=D₃K=2，
∴D₃H=1，KH=

3

，
∴S_△D3KH=

1

2

×1×

3

=

3

2

，
而S_梯形=

21 3

2

，
∴S_梯形-S_△ND3K=

21 3

2

-

3

2

=

19 3

2

=重疊部分面積，
在Rt△GC₃B₃中，∠GC₃B₃=30°，C₃B₃=5，
∴GC₃=

BC

cos30°

=

10 3

3

，
C₃K=C₃D₃-D₃K=6-2=4，
C₃E=C₃Ktan30°=4×

3

3

=

4 3

3

，
∴GE=GC₃+C₃E=

10 3

3

+

4 3

3

=

14 3

3

，
∴等邊△PMN的邊長(zhǎng)x的范圍為：x≥

14 3

3

，

（3）如圖：GE∥B₃K∥PM，

Rt△B₃C₃H中，B₃C₃=5，∠C₃=30°，
∴Rt△B₃C₃H的面積為：

25 3

8

，
∴Rt△B₃C₃H的面積+△D₃NE的面積=

25 3

8

+

3

=

33 3

8

＜

21 3

4

（梯形面積的一半），
等邊三角形的一邊RK應(yīng)落在GE與B₃K之間，如圖所示，

等邊△GNE的邊長(zhǎng)為2

3

，面積為3

3

，
∵GE∥RK，
∴△GNE∽△RNK，
∴S_△GNE：S_△RNK=（NE：NK）²，
設(shè)KE=x，則S_△GNE：S_△RNK=（

2 3

x+2 3

）²，
而四邊形RNEH的面積為梯形的面積的一半，即

21 3

4

，
在△HEK中，KE=x，∠KEH=30°，
∴S_△KEH=

3 x2

8

，
∴S_△NRK=

21 3

4

+

21 3

4

+

3 x2

8

，
∴（

2 3

x+2 3

）²=

3 3

21 3 4 + 3 x2 8

，
∴x=

-8±2 66

2

，
∴x=-4

3

+

66

（負(fù)值舍去），
RN=NE+EK=2

3

+（-4

3

+

66

）=

66

-2

3

，
即此時(shí)等邊三角形的邊長(zhǎng)為：

66

-2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用以及相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題目給出的條件先判斷出重合部分的形狀，進(jìn)而選擇合適的面積計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．