【題目】將一副三角尺如圖①擺放(在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°.Rt△DEF中,∠EDF=90°,∠E=45°).點D為AB的中點,DE交AC于點P,DF經(jīng)過C,且BC=2.

1)求證:ADC∽△APD;

2)求APD的面積;

3)如圖②,將DEF繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)角60°),此時的等腰直角三角尺記為DE′F′,DE′AC于點M,DF′BC于點N,試判斷的值是否會隨著的變化而變化,如果不變,請求出的值;反之,請說明理由.

【答案】(1)證明見解析;(2)(3)的值不會隨著的變化而變化,理由見解析.

【解析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD=AD=BD=AB,根據(jù)等邊對等角求出∠ACD=∠A,再求出∠ADC=120°,再根據(jù)∠ADE=∠ADC-∠EDF計算即可得解;
(2)根據(jù)同角的余角相等求出∠PDM=∠CDN,再根據(jù)然后求出△BCD是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠BCD=60°,再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠CPD=60°,從而得到∠CPD=∠BCD,再根據(jù)兩組角對應(yīng)相等,兩三角形相似判斷出△DPM和△DCN相似,再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得=為定值.

解:(1)證明:由題意知CD是△ABC中斜邊AB上的中線,

∴AD=BD=CD.

∵在△BCD中,BD=CD,且∠B=60°,

∴△BCD為等邊三角形.

∴∠BCD=∠BDC=60°,

∴∠ACD=90°-60°=30°,∠ADE=180°-∠BDC-∠EDF=30°,

∴∠ACD=∠ADE=30°,又∵∠A是公共角,

∴△ADC∽△APD.

(2)∵△BCD為等邊三角形,∴DC=BC=2.

在Rt△PDC中,∠PCD=30°,∴PD=DCtan30°,

由(1)得∠ADE=30°,又∠PAD=90°-60°=30°,

∴△PAD是等腰三角形,∴AP=PD,AD=2,

作PH⊥AD于H,在Rt△PAH中,由∠PAH=30°得,

.

(3)的值不會隨著的變化而變化.

∵∠MPD=∠A+∠ADE=60°,

∴∠MPD=∠BCD=60°.

∵在△MPD和△NCD中,∠MPD=∠NCD=60°,∠PDM=∠CDN=

∴△MPD∽△NCD,∴.

∵在△APD中,∠A=∠ADE=30°,

∴在等腰△APD中, ,

“點睛”本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì),熟記各性質(zhì)并判斷出相似三角形是解題的關(guān)鍵,也是本題的難點.

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(1)若∠BEB′=110°,則∠BEC=°,∠AEN=°,∠BEC+∠AEN=°.
(2)若∠BEB′=m°,則(1)中∠BEC+∠AEN的值是否改變?請說明你的理由.
(3)將∠ECF對折,點E剛好落在F處,且折痕與B′C重合,求∠DNA′.

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【題目】閱讀下面材料:

小偉遇到這樣一個問題:如圖1,在△ABC(其中∠BAC是一個可以變化的角)中,AB=2,AC=4,以BC為邊在BC的下方作等邊△PBC,求AP的最大值.

小偉是這樣思考的:利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合.他的方法是以點B為旋轉(zhuǎn)中心將△ABP逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′BC,連接A′A,當(dāng)點A落在A′C上時,此題可解(如圖2).

(1)請你回答:AP的最大值是

(2)參考小偉同學(xué)思考問題的方法,解決下列問題:

如圖3,等腰Rt△ABC.邊AB=4,P為△ABC內(nèi)部一點,請寫出求AP+BP+CP的最小值長的解題思路.

提示:要解決AP+BP+CP的最小值問題,可仿照題目給出的做法.把△ABP繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)60,得到△A′BP′.

①請畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形

②請寫出求AP+BP+CP的最小值的解題思路(結(jié)果可以不化簡).

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