Question

已知二次函數(shù)y=ax²-4x+c的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（0，-5）．
（1）已知該函數(shù)圖象的對稱軸上存在一點(diǎn)P，使得△ABP的周長最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

（2，-3）

；
（2）△ABP的周長等于

5

2

+

26

．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，設(shè)拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為C，根據(jù)函數(shù)解析式即可求得C的坐標(biāo)，在△ABP中，AB的長為定值，若三角形的周長最小，那么AP+BP的長最小；由于A、C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，若連接BC，那么BC與對稱軸的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)，可先求出直線BC的解析式，然后聯(lián)立拋物線的對稱軸方程，即可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）由（1）可得△ABP的周長=AB+AP+BP=AB+BC，代入計(jì)算即可．

解答：解：（1）將點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)代入，得

a+4+c=0 c=-5

，
解得：

a=1 c=-5

，
故二次函數(shù)解析式為y=x²-4x-5，對稱軸方程為：x=2，
令y=0，則x²-4x-5=0，
解得：x₁=-1，x₂=5，
則拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，0），
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，
將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入得：

5k+b=0 b=-5

，
解得：

k=1 b=-5

，
即直線BC的解析式為：y=x-5，
∵點(diǎn)P在拋物線對稱軸上，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-3）．

（2）AB=

OA2+OB2

=

26

，BC=

OB2+OC2

=

52+52

=5

2

，
則△ABP的周長=AB+AP+BP=AB+BC=5

2

+

26

．
故答案為：（2，-3），5

2

+

26

．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定以及軸對稱性質(zhì)的應(yīng)用，能夠正確的確定P點(diǎn)的位置時解答此題的關(guān)鍵．