Question

【題目】如圖,點(diǎn)O是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),∠AOB=110°,∠BOC=α,將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ADC,連接OD.

（1）求證:△COD是等邊三角形.
（2）當(dāng)α=150°時(shí),試判斷△AOD的形狀.
（3）探究:當(dāng)α為多少度時(shí),△AOD是等腰三角形?

Answer 1

【答案】
（1）證明:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知△ADC≌△BOC,
∴DC=OC.
又∵∠DCO=60°,∴△COD是等邊三角形
（2）解：∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知△ADC≌△BOC,
∴α=∠ADC=150°,
∵△COD是等邊三角形.
∴∠ODC=60°,
∴∠ADO=90°.
∴△AOD是直角三角形.
（3）解:∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α,∠ADO=α-60°,
∠DAO=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°.
若∠ADO=∠AOD,即α-60°=190°-α,∴α=125°;
若∠ADO=∠DAO,即α-60°=50°,∴α=110°;
若∠AOD=∠DAO,即190°-α=50°.∴α=140°.
綜上所述,當(dāng)α=125°或110°或140°時(shí),△AOD是等腰三角形.
【解析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出DC=OC及∠DCO=60°，再根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，即可證得結(jié)論。
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ADC≌△BOC，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出∠ADC的度數(shù)，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠ODC的度數(shù)，然后根據(jù)∠ADO=∠ADC-∠ODC，求出∠ADO的度數(shù)，就可判斷△AOD的形狀。
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別用含α的式子表示出∠AOD,∠ADO，∠DAO的度數(shù)，再分三種情況討論：∠ADO=∠AOD；∠ADO=∠DAO；∠AOD=∠DAO，計(jì)算即可求出滿足條件的α的值。