【題目】已知:△ABC是等腰直角三角形,動(dòng)點(diǎn)P在斜邊AB所在的直線上,以PC為直角邊作等腰直角三角形PCQ,其中∠PCQ=90°,探究并解決下列問題:
(1)如圖①,若點(diǎn)P在線段AB上,且AC=1+ ,PA= ,則: ①線段PB= , PC=;
②猜想:PA2 , PB2 , PQ2三者之間的數(shù)量關(guān)系為;
(2)如圖②,若點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上,在(1)中所猜想的結(jié)論仍然成立,請(qǐng)你利用圖②給出證明過程;
(3)若動(dòng)點(diǎn)P滿足 = ,求 的值.(提示:請(qǐng)利用備用圖進(jìn)行探求)
【答案】
(1);2;?PA2+PB2=PQ2
(2)解:如圖②:過點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D.
∵△ACB為等腰直角三角形,CD⊥AB,
∴CD=AD=DB.
∵AP2=(AD+PD)2=(DC+PD)2=CD2+2DCPD+PD2,
PB2=(DP﹣BD)2=(PD﹣DC)2=DC2﹣2DCPD+PD2,
∴AP2+BP2=2CD2+2PD2,
∵在Rt△PCD中,由勾股定理可知:PC2=DC2+PD2,
∴AP2+BP2=2PC2.
∵△CPQ為等腰直角三角形,
∴2PC2=PQ2.
∴AP2+BP2=PQ2
(3)解:如圖③:過點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D.
① 當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)P1處時(shí).
∵ ,
∴ .
∴ .
在Rt△CP1D中,由勾股定理得: = = DC,
在Rt△ACD中,由勾股定理得:AC= = = DC,
∴ = .
②當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)P2處時(shí).
∵ = ,
∴ .
在Rt△CP2D中,由勾股定理得: = = ,
在Rt△ACD中,由勾股定理得:AC= = = DC,
∴ .
綜上所述, 的比值為 或
【解析】解:(1)如圖①:
① △ABC是等腰直直角三角形,AC=1+
∴AB= = = + ,
∵PA= ,
∴PB= ,
作CD⊥AB于D,則AD=CD= ,
∴PD=AD﹣PA= ,
在Rt△PCD中,PC= =2,
故答案為: ,2;
②如圖1.
∵△ACB為等腰直角三角形,CD⊥AB,
∴CD=AD=DB.
∵AP2=(AD﹣PD)2=(DC﹣PD)2=DC2﹣2DCPD+PD2 , PB2=(DB+PD)2=(DC+DP)2=CD2+2DCPD+PD2
∴AP2+BP2=2CD2+2PD2 ,
∵在Rt△PCD中,由勾股定理可知:PC2=DC2+PD2 ,
∴AP2+BP2=2PC2 .
∵△CPQ為等腰直角三角形,
∴2PC2=PQ2 .
∴AP2+BP2=PQ2
(1)①在等腰直角三角形ACB中,由勾股定理先求得AB的長(zhǎng),然后根據(jù)PA的長(zhǎng),可求得PB的長(zhǎng);過點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D,從而可求得CD、PD的長(zhǎng),然后在Rt三角形CDP中依據(jù)勾股定理可求得PC的長(zhǎng);②△ACB為等腰直角三角形,CD⊥AB,從而可求得:CD=AD=DB,然后根據(jù)AP=DC﹣PD,PB=DC+PD,可證明AP2+BP2=2PC2 , 因?yàn)樵赗t△PCQ中,PQ2=2CP2 , 所以可得出AP2+BP2=PQ2的結(jié)論;(2)過點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D,則AP=(AD+PD)=(DC+PD),PB=(DP﹣BD)=(PD﹣DC),可證明AP2+BP2=2PC2 , 因?yàn)樵赗t△PCQ中,PQ2=2CP2 , 所以可得出AP2+BP2=PQ2的結(jié)論;(3)根據(jù)點(diǎn)P所在的位置畫出圖形,然后依據(jù)題目中的比值關(guān)系求得PD的長(zhǎng)(用含有CD的式子表示),然后在Rt△ACP和Rt△DCP中由勾股定理求得AC和PC的長(zhǎng)度即可.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】提出問題:
(1)如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,H分別在BC,AB上,若AE⊥DH于點(diǎn)O,求證:AE=DH;
類比探究:
(2)如圖2,在正方形ABCD中,點(diǎn)H,E,G,F(xiàn)分別在AB,BC,CD,DA上,若EF⊥HG于點(diǎn)O,探究線段EF與HG的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
綜合運(yùn)用:
(3)在(2)問條件下,HF∥GE,如圖3所示,已知BE=EC=2,EO=2FO,求圖中陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】Word文本中的圖形,在圖形格式中大小菜單下顯示有圖形的絕對(duì)高度和絕對(duì)寬度,同一個(gè)圖形隨其放置方向的變化,所顯示的絕對(duì)高度和絕對(duì)寬度也隨之變化.如圖①、②、③是同一個(gè)三角形以三條不同的邊水平放置時(shí),它們所顯示的絕對(duì)高度和絕對(duì)寬度如下表,現(xiàn)有△ABC,已知AB=AC,當(dāng)它以底邊BC水平放置時(shí)(如圖④),它所顯示的絕對(duì)高度和絕對(duì)寬度如下表,那么當(dāng)△ABC以腰AB水平放置時(shí)(如圖⑤),它所顯示的絕對(duì)高度和絕對(duì)寬度分別是( )
圖形 | 圖① | 圖② | 圖③ | 圖④ | 圖⑤ |
絕對(duì)高度 | 1.50 | 2.00 | 1.20 | 2.40 | ? |
絕對(duì)寬度 | 2.00 | 1.50 | 2.50 | 3.60 | ? |
A.3.60和2.40
B.2.56和3.00
C.2.56和2.88
D.2.88和3.00
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)活動(dòng):拼圖中的數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,老師提出如下問題:
用5個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組合一個(gè)圖形(相互之間不能重疊),然后將組合后的圖形剪拼成一個(gè)大的正方形.
合作交流:“實(shí)踐”小組:我們組合成的圖形如圖(1)所示,剪拼成大的正形的過程如圖(2),圖(3)所示.“興趣”小組:我們組合成的圖形如圖(4)所示,但我們未能將其剪拼成大的正方形.
任務(wù):請(qǐng)你幫助“興趣”小組的同學(xué),在圖(4)中畫出剪拼線,在圖(5)中畫出剪拼后的正方形.要求:剪拼線用虛線表示,剪拼后的大正方形用實(shí)線表示.
應(yīng)用遷移:如圖(6),∠A=∠B=∠C=∠D=∠F=90°,AB=AF=2,EF=ED=1.
請(qǐng)你將該圖進(jìn)行分割,使得分割后的各部分恰好能拼成一個(gè)正方形,請(qǐng)你在圖(5)中畫出拼圖示意圖(拼圖的各部分不能互相重疊,不能留有空隙,不要求進(jìn)行說理或證明)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,下列正方形網(wǎng)格的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,⊙O的半徑為n≥8 .規(guī)定:頂點(diǎn)既在圓上又是正方形格點(diǎn)的直角三角形稱為“圓格三角形”,請(qǐng)按下列要求各畫一個(gè)“圓格三角形”,并用陰影表示出來.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解高郵市6000名九年級(jí)學(xué)生英語口語考試成績(jī)的情況,從中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績(jī)(滿分30分,得分均為整數(shù)),制成下表:
分?jǐn)?shù)段(x分) | x≤10 | 11≤x≤15 | 16≤x≤20 | 21≤x≤25 | 26≤x≤30 |
人 數(shù) | 10 | 15 | 35 | 112 | 128 |
(1)本次抽樣調(diào)查共抽取了名學(xué)生;
(2)若用扇形統(tǒng)計(jì)圖表示統(tǒng)計(jì)結(jié)果,則分?jǐn)?shù)段為x≤10的人數(shù)所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為°;
(3)學(xué)生英語口語考試成績(jī)的眾數(shù)落在11≤x≤15的分?jǐn)?shù)段內(nèi);(填“會(huì)”或“不會(huì)”)
(4)若將26分以上(含26)定為優(yōu)秀,請(qǐng)估計(jì)該區(qū)九年級(jí)考生成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線y=ax2+bx+c圖象如圖所示,則一次函數(shù)y=﹣bx﹣4ac+b2與反比例函數(shù)y= 在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)接于點(diǎn)O,點(diǎn)E是 上的一動(dòng)點(diǎn)(不與A、B重合),點(diǎn)F是 上的一點(diǎn),連接OE、OF,分別與AB、BC交于點(diǎn)G,H,且∠EOF=90°,有以下結(jié)論,其中正確的個(gè)數(shù)是( ). ① = ; ②△OGH是等腰三角形; ③四邊形OGBH的面積隨著點(diǎn)E位置的變化而變化;④△GBH周長(zhǎng)的最小值為4+ .
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,過銳角△ABC的頂點(diǎn)A作DE∥BC,AB恰好平分∠DAC,AF平分∠EAC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.在AF上取點(diǎn)M,使得AM= AF,連接CM并延長(zhǎng)交直線DE于點(diǎn)H.若AC=2,△AMH的面積是 ,則 的值是 .
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