如圖1,矩形ABCD中,AB=10,BC=8,E是AB邊上一點,過E作EF⊥CE,交AD于點F.
(1)求證:△EFA∽△CEB;
(2)如果AE=6,求AF的長;
(3)在(2)條件下,以A為原點,AB為x軸,AD為y軸建立坐標(biāo)系,如圖2,連接CF,問在y軸上是否存在點P,使以A、B、P為頂點的三角形與△CEF相似?如果存在,寫出點P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.

(1)證明:∵已知矩形ABCD和EF⊥CE,
∴∠A=∠B=90°,∠CEF=90°,
∴∠BEC+∠AEF=∠AFE+∠AEF=90°,
∴∠BEC=∠AFE,
∴△EFA∽△CEB;

(2)解:已知AE=6,AB=10,BC=8,
∴BE=4,
∵△EFA∽△CEB,
=
=,
∴AF=3;

(3)解:存在點P,使以A、B、P為頂點的三角形與△CEF相似,
因為由(1)得出∠PAB=∠FEC=90°,
在直角三角形AFE 和EBC中由勾股定理得:
FE===3,
EC===4,
①若△BAP∽△CEF,得:=
=,
∴PA=7.5,
所以點P的坐標(biāo)為:(0,±7.5).
②若△PAB∽△CEF,得:=
=,
∴PA=
所以點P坐標(biāo)為(0,±).
分析:(1)由已知矩形ABCD和EF⊥CE,得∠A=∠B=90°,∠CEF=90°,則∠BEC+∠AEF=∠AFE+∠AEF=90°,所以∠BEC=∠AFE,從而證出△EFA∽△CEB;
(2)由AE=6,AB=10,BC=8,則BE=4,所以由(1)證得的△EFA∽△CEB求出AF的長;
(3)存在點P,使以A、B、P為頂點的三角形與△CEF相似,因為由已知得∠PAB=∠FEC=90°,若有一點P,使=,則△EFA∽△CEB;由勾股定理可求出FE和EC,根據(jù)相似可求出點P的坐標(biāo).
點評:此題考查的知識點相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及矩形的性質(zhì),關(guān)鍵是熟練運用好矩形的性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的判定與性質(zhì).
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在矩形ABCD中,連接AC,如果O為△ABC的內(nèi)心,過O作OE⊥AD于E,作OF⊥CD于F,則矩形OFDE的面積與矩形ABCD的面積的比值為( 。
A、
1
2
B、
2
3
C、
3
4
D、不能確定

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2.點P、Q同時從點A出發(fā),點P以每秒2個單位的速度沿A→B→C→D的方向運動;點Q以每秒1個單位的速度沿A→D→C的方向運動,當(dāng)P、精英家教網(wǎng)Q兩點相遇時,它們同時停止運動.設(shè)P、Q兩點運動的時間為x(秒),△APQ的面積為S(平方單位).
(1)點P、Q從出發(fā)到相遇所用的時間是
 
秒.
(2)求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
(3)當(dāng)S=
72
時,求x的值.
(4)當(dāng)△AQP為銳角三角形時,求x的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•廣東模擬)如圖,在矩形ABCD中,AC、BD交于點O,∠AEC=90°,連接OE,OF平分∠DOE交DE于F.
求證:OF垂直平分DE.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,EF過AC、BD的交點O,則圖中陰影部分的面積為
3
3

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•南京)如圖,將矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到矩形AB′C′D′的位置,旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<90°),若∠1=110°,則∠α=
20°
20°

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