Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為4，點P為對角線BD上一動點，點E在射線BC上．

（1）填空：∠PBC= 度．

（2）若BE=t，連結(jié)PE、PC，則|PE+PC的最小值為 ，|PE﹣PC|的最大值是 （用含t的代數(shù)式表示）；

（3）若點E 是直線AP與射線BC的交點，當△PCE為等腰三角形時，求∠PEC的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）45；（2）；|4﹣t|；（3）當△PCE為等腰三角形時，∠PEC的度數(shù)為30°或120°．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)正方形的對角線平分一組對角，且四個角為直角，確定出所求角度數(shù)即可；

（2）連接AP，當AP與PE在一條線上時，PE+PC最小，利用勾股定理求出最小值；當P與B重合時，|PE﹣PC|最大，表示出最大值即可；

（3）分兩種情況考慮：①當E在BC延長線上時，如圖2所示，△PCE為等腰三角形，則CP=CE；②當E在BC上，如圖3所示，△PCE是等腰三角形，則PE=CE，分別求出∠PEC的度數(shù)即可．

解：（1）∠PBC=45度；

故答案為：45；

（2）如圖1所示：當AP與PE在一條線上時，PE+PC最小，

∵AB=4，BE=t，

∴PE+PC的最小值為；

當P與B重合時，|PE﹣PC|的最大值，最大值是|4﹣t|；

故答案為：；|4﹣t|；

（3）分兩種情況考慮：

①當點E在BC的延長線上時，

如圖2所示，△PCE是等腰三角形，則CP=CE，

∴∠CPE=∠CEP，

∴∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP，

∵在正方形ABCD中，∠ABC=90°，

∴∠PBA=∠PBC=45°，

在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴∠BAP=∠BCP=2∠CEP，

∵∠BAP+∠PEC=90°，

∴2∠PEC+∠PEC=90°，

∴∠PEC=30°；

②當點E在BC上時，

如圖3所示，△PCE是等腰三角形，則PE=CE，

∴∠CPE=∠PCE，

∴∠BEP=∠CPE+∠PCE=2∠ECP，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠PBA=∠PBC=45°，

又AB=BC，BP=BP，

∴△ABP≌△CBP，

∴∠BAP=∠BCP，

∵∠BAP+∠AEB=90°，

∴2∠BCP+∠BCP=90°，

∴∠BCP=30°，

∴∠AEB=60°，

∴∠PEC=180°﹣∠AEB=120°，

綜上所述：當△PCE為等腰三角形時，∠PEC的度數(shù)為30°或120°．