Question

如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3．點(diǎn)P、Q分別是BC邊和AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，QR⊥BC，垂足為R，設(shè)P、Q同時(shí)運(yùn)動(dòng)，并且當(dāng)P運(yùn)動(dòng)4x單位長(zhǎng)度時(shí)，Q運(yùn)動(dòng)5（1-x）單位長(zhǎng)度．是否存在x的值，使以P、Q、R為頂點(diǎn)的三角形與△ACP相似？若存在，求出所有x的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，當(dāng)若點(diǎn)P，R，Q分別與點(diǎn)P，C，A對(duì)應(yīng)，當(dāng)若點(diǎn)P，R，Q分別與點(diǎn)A，C，P對(duì)應(yīng)，分別分析得出x的長(zhǎng)度即可．

解答：解：存在x的值，使以P，Q，R為頂點(diǎn)的三角形與△ACP相似．
∵BQ=5x，有相似三角形求得：BR=4x，QR=3x，
①當(dāng)P在C，R之間時(shí)，PR=4-8x，
若△PRQ∽△ACP，則PR：AC=RQ：CP，
即：

4-8x

3

=

3x

4x

，
∴x=

7

32

，
若△QRP∽△ACP，則QR：AC=RP：CP，
即：

3x

3

=

4-8x

4x

，
∴x₁=

2

-1，x₂=-

2

-1（舍），
②當(dāng)P在B，R之間時(shí)，PR=8x-4，
若△PRQ∽△ACP，則PR：AC=RQ：CP，
即：

8x-4

3

=

3x

4x

，
∴x=

25

32

，
若△QRP∽△ACP，則QR：AC=RP：CP，
即：

3x

3

=

8x-4

4x

，
∴x₁=x₂=1（舍）
綜上所述：存在x的值，x₁=

2

-1，x₂=

7

32

，x₃=

25

32

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)P和R點(diǎn)不同位置進(jìn)行分析，解題時(shí)要注意一題多解的情況，要注意別漏解是解題關(guān)鍵．