Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，對角線AC與BD交于點(diǎn)P，下面給出5個(gè)論斷：①AB//CD；②AP=PC；③AB=CD；④∠BAD=∠DCB；⑤AD//BC．

(1)若用論斷①和④作為條件，試證四邊形ABCD是矩形．

(2)請你另選取兩個(gè)能推出四邊形ABCD為矩形的論斷．如：_________和_________、___________和________________(不證明，用序號(hào)表示即可)．

(3)若選取論斷③和⑤作為條件，能推出四邊形ABCD為矩形嗎?若能，請給出證明；若不能，請舉反例說明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）如：①和③，或②和③，或④和③；理由見詳解；（3）不能，理由見詳解.

【解析】

（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到由這兩個(gè)條件組成的四邊形為有一個(gè)角是直角的平行四邊形即可判定矩形．

（2）利用矩形的三種判定方法即可得到結(jié)論；

（3）不能，因?yàn)橐唤M對邊平行，而另一組對邊相等的還有可能是等腰梯形．

解：①AB//CD；②AP=PC；③AВ=CD；④∠BAD=∠DCB；⑤AD//BC．

（1）∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠BAD+∠DCB=180°，

又∵∠BAD=∠DCB，

∴∠BAD=∠DCB=90°

∵AB//DC

∴∠BAD+∠ADC=180°，∠ADC=90°，

故四邊形ABCD是矩形；

（2）如：①AB//CD和③AB=CD；

在四邊形ABCD中，

∵AB//CD，AB=CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠BAD+∠ABC=180°，

∵∠BAD+∠DCB=180°，

∴∠ABC=∠DCB，

∵∠ABC+∠DCB=180°，

∴∠ABC=∠DCB=90°，

∴平行四邊形ABCD是矩形；

如：②AP=PC和③AB=CD；

∵∠ACD=∠ABD，AP=PC，AB=CD，

∴△ABP≌△DCP，

∴BP=DP，

∴四邊形ABCD是平行四邊形；

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠BAD+∠ABC=180°，

∵∠BAD+∠DCB=180°，

∴∠ABC=∠DCB，

∵∠ABC+∠DCB=180°，

∴∠ABC=∠DCB=90°，

∴平行四邊形ABCD是矩形；

如：③AB=CD和④∠BAD=∠DCB；

∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠BAD+∠DCB=180°，

∴∠BAD=∠DCB=90°，

∵∠BAC=∠BDC，AB=CD，∠ABD=∠ACD，

∴△ABP≌△DCP，

∴AP=CP，BP=DP，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵∠BAD=∠DCB=90°，

∴四邊形ABCD是矩形；

（3）不能，如圖，

∵AD//BC，AB=DC，∠B≠90°，

∴四邊形ABCD不是矩形．