Question

一園林設(shè)計(jì)師要使用長度為4L的材料建造如圖1所示的花圃，該花圃是由四個形狀、大小完全一樣的扇環(huán)面組成，每個扇環(huán)面如圖2所示，它是以點(diǎn)O為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過O點(diǎn)的兩條直線段圍成，為使得綠化效果最佳，還須使得扇環(huán)面積最大．
（1）求使圖1花圃面積為最大時R-r的值及此時花圃面積，其中R、r分別為大圓和小圓的半徑；
（2）若L=160m，r=10m，求使圖2面積為最大時的θ值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求圖1花圃面積，就要求出一個大扇形減一個小扇形的面積，然后再利用函數(shù)分析討論最大值．
設(shè)圖2扇環(huán)的圓心角為θ，面積為S，根據(jù)題意得：L=+2（R-r）=θ•+2（R-r）．求出θ，S的關(guān)系式．最后可求得S在R-r=時為最大，最大值為．
（2）把值代入上式計(jì)算即可．根據(jù)（1）可得當(dāng)R-r=時，S取值最大．把L的值代入可得解．
解答：解：（1）若使形如圖1花圃面積為最大，則必定要求圖2扇環(huán)面積最大．
設(shè)圖2扇環(huán)的圓心角為θ，面積為S，根據(jù)題意得：L=+2（R-r），（2分）
L=θ•+2（R-r）
180l-360（R-r）=π（R+r）θ
∴θ=．（3分）
∴S==（4分）
=
=[L-2（R-r）]•（R-r）=-[（R-r）-]²+．（5分）
∵式中0＜R-r＜，
∴S在R-r=時為最大，最大值為．（6分）
∴花圃面積最大時R-r的值為，最大面積為．（7分）．

（2）∵當(dāng)R-r=時，S取值最大，
∴R-r==40（m），R=40+r=40+10=50（m）．（8分）
∴==（度）．（10分）
點(diǎn)評：本題綜合考查了扇形的面積計(jì)算和函數(shù)有關(guān)知識．