Question

如圖，已知點(diǎn)D為等腰直角△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠CAD=∠CBD=15°．
（1）求證：AD=BD；
（2）E為AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE=CA，求證：AD+CD=DE；
（3）當(dāng)BD=2時(shí)，AC的長(zhǎng)為

 

．（直接填出結(jié)果，不要求寫過程）

Answer 1

分析：（1）因?yàn)椤鰽BC為等腰直角三角形，∠CAD=∠CBD=15，易證AD=BD；
（2）在DE上截取DM=DC，連接CM，易證△ACD≌△BCD，再根據(jù)角與角之間的關(guān)系，求得△CMD是等邊三角形，則AD+CD=DE可證；
（3）用解直角三角形求得AC的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠ABC=45°．
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=30°．
∴AD=BD．

（2）證明：在DE上截取DM=DC，連接CM，
∵AD=BD，AC=BC，DC=DC，
∴△ACD≌△BCD．
∴∠ACD=∠BCD=45°．
∵∠CAD=15°，
∴∠EDC=60°．
∵DM=DC，
∴△CMD是等邊三角形．
∴∠CDA=∠CME=120°．
∵CE=CA，
∴∠E=∠CAD．
∴△CAD≌△CEM．
∴ME=AD．
∴DA+DC=ME+MD=DE．
即AD+CD=DE．

（3）延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)H，則CH⊥AB，
∵∠HBD=30°，BD=2，
∴BH=BD•cos30°=

3

．
∴AC=BC=BH÷sin45°=

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題把全等三角形的判定、等腰三角形的判定和解直角三角形結(jié)合求解．綜合性強(qiáng)，難度較大，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力．