Question

【題目】如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠A=2∠C．

（1）若∠C=38°，則∠ABD=　　　　　　；

（2）求證：BC=AB+AD；

（3）求證：BC2=AB2+ABAC．

Answer 1

【答案】（1）33°；（2）證明見解析.（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）在BC上截取BE=AB，利用“邊角邊”證明△ABD和△BED全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DE=AD，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AED=∠A，然后求出∠C=∠CDE，根據(jù)等角對(duì)等邊可得CE=DE，然后結(jié)合圖形整理即可得證；

（2）由（1）知：△ABD≌△BED，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DE=AD，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AED=∠A，然后求出∠C=∠CDE，根據(jù)等角對(duì)等邊可得CE=DE，等量代換得到EC=AD，即得答案BC=BE+EC=AB+AD；

（3）為了把∠A=2∠C轉(zhuǎn)化成兩個(gè)角相等的條件，可以構(gòu)造輔助線：在AC上取BF=BA，連接AE，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理的推論能夠證明AB=F．再根據(jù)勾股定理表示出BC2，AB2．再運(yùn)用代數(shù)中的公式進(jìn)行計(jì)算就可證明．

試題解析：（1）在BC上截取BE=BA，如圖1，

在△ABD和△BED中，

,

∴△ABD≌△BED，

∴∠BED=∠A，

∵∠C=38°，∠A=2∠C，

∴∠A=76°，

∴∠ABC=180°﹣∠C﹣∠A=66°，

BD平分∠ABC，

∴∠ABD=33°；

（2）由（1）知：△ABD≌△BED，

∴BE=AB，DE=AD，∠BED=∠A，

又∵∠A=2∠C，

∴∠BED=∠C+∠EDC=2∠C，

∴∠EDC=∠C，

∴ED=EC，

∴EC=AD

∴BC=BE+EC=AB+AD；t

（3）如圖2，過B作BG⊥AC于G，

以B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑畫弧，交AC于F，

則BF=BA，

在Rt△ABG和Rt△GBG中，

，

∴Rt△ABG≌Rt△GBG，

∴AG=FG，

∴∠BFA=∠A，

∵∠A=2∠C，

∴∠BFA=∠FBC+∠C=2∠C，

∴∠FBC=∠C，

∴FB=FC，

FC=AB，

在Rt△ABG和Rt△BCG中，

BC2=BG2+CG2，

AB2=BG2+AG2

∴BC2﹣AB2=CG2﹣AG2=（CG+AG）（CG﹣AG）

=AC（CG﹣GF）=ACFC

=ACAB．