Question

如圖①，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（12，0）、B（-4，0）、C（0，-12）．頂點(diǎn)為M，過點(diǎn)A的直線y=kx-4交y軸于點(diǎn)N．
（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式和對稱軸；
（2）試判斷△AMN的形狀，并說明理由；
（3）將AN所在的直線l向上平移．平移后的直線l與x軸和y軸分別交于點(diǎn)D、E（如圖②）．當(dāng)直線l平移時（包括l與直線AN重合），在拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PDE是以DE為直角邊的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=ax²+bx+c；
∵拋物線過點(diǎn)C（0，-12），
∴c=-12；
又∵它過點(diǎn)A（12，0）和點(diǎn)B（-4，0），
∴，
解得；
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=x²-2x-12，
拋物線的對稱軸為x=4．

（2）解法一：
∵在y=kx-4中，當(dāng)x=0時，y=-4，
∴y=kx-4與y軸的交點(diǎn)N（0，-4）；
∵y=x²-2x-12=（x-4）²-16，
∴頂點(diǎn)M（4，-16）；
∵AM²=（12-4）²+16²=320，
AN²=12²+4²=160，
MN²=4²+（16-4）²=160，
∴AN²+MN²=160+160=320=AM²，
AN=MN；
∴△AMN是等腰直角三角形．
解法二：
過點(diǎn)M作MF⊥y軸于點(diǎn)F，則有
MF=4，NF=16-4=12，OA=12，ON=4；
∴MF=ON，NF=OA，
又∵∠AON=∠MFN=90°，
∴△AON≌△NFM；
∴∠MNF=∠NAO，AN=MN；
∵∠NAO+∠ANO=90°，即∠MNF+∠ANO=90°，
∴∠MNA=90；
∴△AMN是等腰直角三角形．

（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為：
（4，-16），（4，-8），（4，-3），（4，6）
參考解答如下：
∵y=kx-4過點(diǎn)A（12，0），
∴k=；
直線l與y=x-4平行，
設(shè)直線l的解析式為y=x+b；
則它與x軸的交點(diǎn)D（-3b，0），與y軸交點(diǎn)E（0，b）；
∴OD=3OE；
設(shè)對稱軸與x軸的交點(diǎn)為K；
（Ⅰ）以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)如圖；
①根據(jù)題意，點(diǎn)M（4，-16）符合要求；
②過P作PQ⊥y軸，
當(dāng)△PDE為等腰直角三角形時，
有Rt△ODE≌Rt△QEP，
∴OE=PQ=4，QE=OD；
∵在Rt△ODE中，OD=3OE，
∴OD=12，QE=12，
∴OQ=8，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，-8）；
（Ⅱ）以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)；
同理在圖①中得到P（4，6），
在圖②中可得P（4，-3）；
綜上所得：滿足條件的P的坐標(biāo)為：
（4，-16），（4，-8），（4，-3），（4，6）．

分析：（1）題是典型的待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法很容易求解；
（2）題要想證明等腰直角三角形，需要證明等腰，需要證明直角，而證明等腰三角形和證明直角均需要利用坐標(biāo)求出MN和AN長，并利用勾股定理逆定理（或全等）完成證明；
（3）易求得直線AN的解析式，由于直線l與直線AN平行，可根據(jù)直線AN的斜率設(shè)出直線l的解析式，根據(jù)解析式可得OD=3OE；然后分兩種情況考慮：
①點(diǎn)E是直角頂點(diǎn)，1）很顯然點(diǎn)M符合點(diǎn)P的要求；
2）過P作PQ⊥y軸于Q，由于△PDE是等腰直角三角形，易證得Rt△ODE≌Rt△QEP，可得到OE=PQ=4，而OD=3OE，即可得到OD的長，也就得到了EQ、OQ的長，進(jìn)而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②點(diǎn)D是直角頂點(diǎn)，可設(shè)拋物線對稱軸與x軸的交點(diǎn)為K，解法與（3）①相同．
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等重要知識，同時還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性強(qiáng)，難度較大．