Question

△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，關(guān)于x的方程x²-2ax+b²=0的兩根為x₁、x₂，x軸上兩點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為（x₁，0）、（x₂，0），其中M的坐標(biāo)是（a+c，0）；P是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)D（a，-c²）．
（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）若S_△MNP=3S_△NOP，
①求sinB的值；
②判斷△ABC的三邊長能否取一組適當(dāng)?shù)闹�，使△MND是等腰直角三角形？如能，請(qǐng)求出這組值；如不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及點(diǎn)M的坐標(biāo)得出a、b、c之間的關(guān)系，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABC的形狀；
（2）①由S_△MNP=3S_△NOP可得出MN=3ON即MO=4O，再由M點(diǎn)的坐標(biāo)可求出N點(diǎn)坐標(biāo)，再由a+c，

a+c

4

是方程x²-2ax+b²=0的兩根可得出a、c之間的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理可得出ab之間的關(guān)系，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出sinB的值；
②過D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，由等腰直角三角形的性質(zhì)可知NE=EM，DN=DM，再根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式可知DE=c，根據(jù)c＞0可得出c的值，由勾股定理可求出a、b的值，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解答：解：（1）證明：∵關(guān)于x的方程x²-2ax+b²=0的兩根為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=2a，①，
x₁•x₂=b²，②，
∵點(diǎn)M（a+c，0）
∴（a+c）²-2a（a+c）+b²=0（1分）
∴a²+2ac+c²-2a²-2ac+b²=0，
∴b²+c²=a²．    （1分）
由勾股定理的逆定理得：△ABC為直角三角形且∠A=90°；          （1分）

（2）①如圖所示；
∵S_△MNP=3S_△NOP
∴MN=3ON即MO=4ON（1分）
又M（a+c，0），
∴N(

a+c

4

，0)
∴a+c，

a+c

4

是方程x²-2ax+b²=0的兩根
∴(a+c)+

a+c

4

=2a，
∴c=

3

5

a（1分）
由（1）知：在△ABC中，∠A=90°
由勾股定理得b=

4

5

a，
∴sinB=

b

a

=

4

5

（1分）
②能．理由如下：（1分）
過D作DE⊥x軸于點(diǎn)E則NE=EM，DN=DM，
要使△MND為等腰直角三角形，只須ED=

1

2

MN=EM
∵M(jìn)（a+c，0），D（a，-c²），
∴DE=c²，
EM=c
∴c²=c，
又c＞0，
∴c=1               （1分）
由于c=

3

5

a   b=

4

5

a，
∴a=

5

3

，b=

4

3

，（1分）
∴當(dāng)a=

5

3

，b=

4

3

，c=1時(shí)，△MNP為等腰直角三角形．         （1分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是勾股定理的逆定理、直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積及根與系數(shù)的關(guān)系，涉及面較廣，難度較大．