Question

【題目】用n邊形的對(duì)角線把n邊形分割成（n－2）個(gè)三角形，共有多少種不同的分割方案（n≥4）？

（探究）為了解決上面的數(shù)學(xué)問題，我們采取一般問題特殊化的策略，先從最簡(jiǎn)單情形入手，再逐次遞進(jìn)轉(zhuǎn)化，最后猜想得出結(jié)論．不妨假設(shè)n邊形的分割方案有Pn種．

探究一：用四邊形的對(duì)角線把四邊形分割成2個(gè)三角形，共有多少種不同的分割方案？

如圖①，圖②，顯然，只有2種不同的分割方案．所以，P4=2．

探究二：用五邊形的對(duì)角線把五邊形分割成3個(gè)三角形，共有多少種不同的分割方案？

不妨把分割方案分成三類：

第1類：如圖③，用A，E與B連接，先把五邊形分割轉(zhuǎn)化成1個(gè)三角形和1個(gè)四邊形，再把四邊形分割成2個(gè)三角形，由探究一知，有P4種不同的分割方案，所以，此類共有P4種不同的分割方案．

第2類：如圖④，用A，E與C連接，把五邊形分割成3個(gè)三角形，有1種不同的分割方案，可視為種分割方案．

第3類：圖⑤，用A，E與D連接，先把五邊形分割轉(zhuǎn)化成1個(gè)三角形和1個(gè)四邊形，再把四邊形分割成2個(gè)三角形，由探究一知，有P4種不同的分割方案，所以，此類共有P4種不同的分割方案．

所以，P5 =++=(種)

探究三：用六邊形的對(duì)角線把六邊形分割成4個(gè)三角形，共有多少種不同的分割方案？

不妨把分割方案分成四類：

第1類：如圖⑥，用A，F(xiàn)與B連接，先把六邊形分割轉(zhuǎn)化成1個(gè)三角形和1個(gè)五邊形，再把五邊形分割成3個(gè)三角形，由探究二知，有P5種不同的分割方案．所以，此類共有P5種不同的分割方案．

第2類：如圖⑦，用A，F(xiàn)與C連接，先把六邊形分割轉(zhuǎn)化成2個(gè)三角形和1個(gè)四邊形．再把四邊形分割成2個(gè)三角形，由探究一知，有P4種不同的分割方案．所以，此類共有P4種分割方案

第3類：如圖⑧，用A，F(xiàn)與D連接，先把六邊形分割轉(zhuǎn)化成2個(gè)三角形和1個(gè)四邊形．再把四邊形分割成2個(gè)三角形，由探究一知，有P4種不同的分割方案．所以，此類共有P4種分割方案．

第4類：如圖⑨，用A，F(xiàn)與E連接，先把六邊形分割轉(zhuǎn)化成1個(gè)三角形和1個(gè)五邊形．再把五邊形分割成3個(gè)三角形，由探究二知，有P5種不同的分割方案．所以，此類共有P5種分割方案．

所以，P6 =(種)

探究四：用七邊形的對(duì)角線把七邊形分割成5個(gè)三角形，則P7與P6的關(guān)系為：

P7 = ，共有_____種不同的分割方案．……

（結(jié)論）用n邊形的對(duì)角線把n邊形分割成（n－2）個(gè)三角形，共有多少種不同的分割方案（n≥4）？（直接寫出Pn與Pn -1的關(guān)系式，不寫解答過程）．

（應(yīng)用）用八邊形的對(duì)角線把八邊形分割成6個(gè)三角形，共有多少種不同的分割方案？ （應(yīng)用上述結(jié)論，寫出解答過程）

Answer 1

【答案】18；42；；132種；

【解析】

根據(jù)題意找到P4,P5,P6之間的關(guān)系，進(jìn)行猜想，然后驗(yàn)證，寫出答案.

P4=2，P5 =，P6= ，根據(jù)規(guī)律可得P7 ===42，進(jìn)一步推導(dǎo)規(guī)律： ，根據(jù)公式，P8==132.