【題目】已知AM是⊙O直徑,弦BC⊥AM,垂足為點(diǎn)N,弦CD交AM于點(diǎn)E,連按AB和BE.
(1)如圖1,若CD⊥AB,垂足為點(diǎn)F,求證:∠BED=2∠BAM;
(2)如圖2,在(1)的條件下,連接BD,若∠ABE=∠BDC,求證:AE=2CN;
(3)如圖3,AB=CD,BE:CD=4:7,AE=11,求EM的長(zhǎng).
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)3
【解析】
(1)根據(jù)垂徑定理可得BN=CN,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得EB=EC,從而可得∠BED=2∠BCD,只需證明∠BAM=∠BCD即可;
(2)連接AC,如圖2,易得BC=2CN,要證AE=2CN,只需證AE=BC,只需證△ABE≌△CDB,只需證BE=BD即可;
(3)過(guò)點(diǎn)O作OP⊥AB于P,作OH⊥BE于H,作OQ⊥CD于Q,連接OC,如圖3,由AB=CD可推出OP=OQ,易證∠BEA=∠CEA,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得OH=OQ,即可得到OP=OH,則有,從而可得由AE=11可求出AO、EO,就可求出AM、EM.
解:(1)∵BC⊥AM,CD⊥AB,
∴∠ENC=∠EFA=90°.
∵∠AEF=∠CEN,
∴∠BAM=∠BCD.
∵AM是⊙O直徑,弦BC⊥AM,
∴BN=CN,
∴EB=EC,
∴∠EBC=∠BCD,
∴∠BED=2∠BCD=2∠BAM;
(2)連接AC,如圖2,
∵AM是⊙O直徑,弦BC⊥AM,
∴=
∴∠BAM=∠CAM,
∴∠BDC=∠BAC=2∠BAM=∠BED,
∴BD=BE.
在△ABE和△CDB中,
∴△ABE≌△CDB,
∴AE=CB.
∵BN=CN,
∴AE=CB=2CN;
(3)過(guò)點(diǎn)O作OP⊥AB于P,作OH⊥BE于H,作OQ⊥CD于Q,連接OC,如圖3,
則有
∵AB=CD,
∴AP=CQ,
∴
∵AM垂直平分BC,
∴EB=EC,
∴∠BEA=∠CEA.
∵OH⊥BE,OQ⊥CD,
∴OH=OQ,
∴OP=OQ=OH,
∴
又∵
∴
設(shè)AO=7k,則EO=4k,
∴AE=AO+EO=11k=11,
∴k=1,
∴AO=7,EO=4,
∴AM=2AO=14,
∴EM=AM﹣AE=14﹣11=3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品每件成本為40元,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查整理出如下信息:
①該產(chǎn)品90天售量(n件)與時(shí)間(第x天)滿足一次函數(shù)關(guān)系,部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表:
時(shí)間(第x天) | 1 | 2 | 3 | 10 | … |
日銷(xiāo)售量(n件) | 198 | 196 | 194 | ? | … |
②該產(chǎn)品90天內(nèi)每天的銷(xiāo)售價(jià)格與時(shí)間(第x天)的關(guān)系如下表:
時(shí)間(第x天) | 1≤x<50 | 50≤x≤90 |
銷(xiāo)售價(jià)格(元/件) | x+60 | 100 |
(1)求出第10天日銷(xiāo)售量;
(2)設(shè)銷(xiāo)售該產(chǎn)品每天利潤(rùn)為y元,請(qǐng)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式,并求出在90天內(nèi)該產(chǎn)品的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?(提示:每天銷(xiāo)售利潤(rùn)=日銷(xiāo)售量×(每件銷(xiāo)售價(jià)格-每件成本))
(3)在該產(chǎn)品銷(xiāo)售的過(guò)程中,共有多少天銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于5400元,請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,以點(diǎn)A為圓心,AB的長(zhǎng)為半徑的圓恰好與CD相切于點(diǎn)C,交AD于點(diǎn)E,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,若弧EF的長(zhǎng)為π,則圖中陰影部分的面積為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABO中,∠BAO=90°,AO=AB,BO=8,點(diǎn)A的坐標(biāo)(﹣8,0),點(diǎn)C在線段AO上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由A向O運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,連接BC,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC,垂足為點(diǎn)E,分別交BO于點(diǎn)F,交y軸于點(diǎn) D.
(1)用t表示點(diǎn)D的坐標(biāo) ;
(2)如圖1,連接CF,當(dāng)t=2時(shí),求證:∠FCO=∠BCA;
(3)如圖2,當(dāng)BC平分∠ABO時(shí),求t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=8cm,AC=6cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CB方向以3cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向以2cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),將△APQ沿直線AB翻折得△AP′Q,若四邊形APQP′為菱形,則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為( 。
A. 1sB. sC. sD. s
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在大樓AB正前方有一斜坡CD,坡角∠DCE=30°,樓高AB=60米,在斜坡下的點(diǎn)C處測(cè)得樓頂B的仰角為60°,在斜坡上的D處測(cè)得樓頂B的仰角為45°,其中點(diǎn)A,C,E在同一直線上.
(1)求坡底C點(diǎn)到大樓距離AC的值;
(2)求斜坡CD的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在兩坐標(biāo)軸上,點(diǎn)C坐標(biāo)為(﹣1,0),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,2).一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,C,反比例函數(shù)y=的圖象也經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.
(1)求反比例函數(shù)的關(guān)系式;
(2)直接寫(xiě)出當(dāng)x<0時(shí),kx+b﹣<0的解集.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).
(1)如圖,當(dāng)∠APB=45°時(shí),求AB及PD的長(zhǎng);
(2)當(dāng)∠APB變化,且其它條件不變時(shí),求PD的最大值,及相應(yīng)∠APB的大。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,的斜邊BC在x軸上,直角頂點(diǎn)A在y軸的正半軸上,,.
(1)求過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式和對(duì)稱軸;
(2)設(shè)點(diǎn)是拋物線在第一象限部分上的點(diǎn),的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求使S最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在拋物線對(duì)稱軸上,是否存在這樣的點(diǎn)M,使得為等腰三角形(P為上述(2)問(wèn)中使S最大時(shí)的點(diǎn))?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(4)設(shè)點(diǎn)M是直線AC上的動(dòng)點(diǎn),試問(wèn):在平面直角坐標(biāo)系中,是否存在位于直線AC下方的點(diǎn)N,使得以點(diǎn)O、A、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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