16.如圖,在等腰直角△ABC中,AC=BC,AD⊥AB(點(diǎn)D在AB的右上方),E為AB邊上一點(diǎn),且BE=4,DE=6,當(dāng)CD平分∠ADE時(shí),CE的長(zhǎng)度為2$\sqrt{6}$.

分析 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠BAC=∠ABC=45°,則∠CAD=135°,可把△CAD繞點(diǎn)C逆時(shí)針90°得到△CBF,如圖,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CF=CD,∠1=∠3,∠CBF=∠CAD=135°,則可判斷點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上,由于∠1=∠2,則∠2=∠3,由CF=CD得∠3+∠5=∠2+∠4,所以∠5=∠4,則FE=DE=6,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得CE平分∠DCF,所以∠ECF=45°,然后證明△EBC∽△ECF,于是利用相似比可計(jì)算出CE的長(zhǎng).

解答 解:∵在等腰直角△ABC中,AC=BC,
∴∠BAC=∠ABC=45°,
∵AD⊥AB,
∴∠DAE=90°,
∴∠CAD=135°,
把△CAD繞點(diǎn)C逆時(shí)針90°得到△CBF,如圖,則CF=CD,∠1=∠3,∠CBF=∠CAD=135°,
∵∠CBF+∠ABC=135°+45°=180°,
∴點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上,
∵CD平分∠ADE,
∴∠1=∠2,
∴∠2=∠3,
∵CF=CD,
∴∠CFD=∠CDF,即∠3+∠5=∠2+∠4,
∴∠5=∠4,
∴FE=DE=6,
∴CF為DF的垂直平分線,
∴CE平分∠DCF,
∴∠ECF=45°,
∵∠EBC=∠ECF,∠BEC=∠CEF,
∴△EBC∽△ECF,
∴CE:EF=BE:CE,即CE:6=4:CE,
∴CE=2$\sqrt{6}$.
故答案為2$\sqrt{6}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了等腰直角三角形的性質(zhì).解決本題的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)把CE、BE、DE放在兩個(gè)相似三角形中,從而利用相似比計(jì)算CE的長(zhǎng).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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①當(dāng)a=1時(shí),方程組的解也是方程x+y=2的解;
②當(dāng)x=y時(shí),a=-$\frac{5}{3}$;
③不論a取什么實(shí)數(shù),2x+y的值始終不變;
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