Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，CB，CD分別切⊙O于點B，D，CD交BA的延長線于點E，CO的延長線交⊙O于點G，EF⊥OG于點F．
（1）求證：∠FEB=∠ECF；
（2）若BC=6，DE=4，求EF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵CB，CD分別切⊙O于點B，D，

∴OC平分∠BCE，即∠ECO=∠BCO，OB⊥BC，

∴∠BCO+∠COB=90°，

∵EF⊥OG，

∴∠FEB+∠FOE=90°，

而∠COB=∠FOE，

∴∠FEB=∠ECF；

（2）解：連接OD，如圖，

∵CB，CD分別切⊙O于點B，D，

∴CD=CB=6，OD⊥CE，

∴CE=CD+DE=6+4=10，

在Rt△BCE中，BE= =8，

設⊙O的半徑為r，則OD=OB=r，OE=8﹣r，

在Rt△ODE中，r2+42=（8﹣r）2，解得r=3，

∴OE=8﹣3=5，

在Rt△OBC中，OC= =3 ，

∵∠COB=∠FOE，

∴△OEF∽△OCB，

∴ = ，即 = ，

∴EF=2 ．

【解析】（1）利用切線長定理得到OC平分∠BCE，即∠ECO=∠BCO，利用切線的性質(zhì)得OB⊥BC，則∠BCO+∠COB=90°，由于∠FEB+∠FOE=90°，∠COB=∠FOE，所以∠FEB=∠ECF；（2）連接OD，如圖，利用切線長定理和切線的性質(zhì)得到CD=CB=6，OD⊥CE，則CE=10，利用勾股定理可計算出BE=8，設⊙O的半徑為r，則OD=OB=r，OE=8﹣r，在Rt△ODE中，根據(jù)勾股定理得r2+42=（8﹣r）2 ， 解得r=3，所以OE=5，OC=3 ，然后證明△OEF∽△OCB，利用相似比可計算出EF的長．
【考點精析】認真審題，首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)，還要掌握垂徑定理(垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧)的相關知識才是答題的關鍵．