Question

已知拋物線y＝ax²＋bx＋c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB．OC的長（OB<OC）是方程x²－10x＋16＝0的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x＝－2．

（1）求A、B、C三點的坐標；

（2）求此拋物線的表達式；

（3）連接AC、BC，若點E是線段AB上的一個動點（與點A．點B不重合），過點E作EF∥AC交BC于點F，連接CE，設AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量m的取值范圍；

（4）在（3）的基礎上試說明S是否存在最大值，若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標，判斷此時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1) 點B的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，8）點A的坐標為（﹣6，0） (2) y=﹣x²﹣x+8（3）S=﹣m²+4m ，m的取值范圍是0＜m＜8  (4) 存在， S_最大值=8，點E的坐標為（﹣2，0），△BCE為等腰三角形

【解析】（1）解方程x²﹣10x+16=0得x₁=2，x₂=8 （1分）

∵點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，且OB＜OC

∴點B的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，8）

又∵拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸是直線x=﹣2

∴由拋物線的對稱性可得點A的坐標為（﹣6，0）（2分）

 

（2）∵點C（0，8）在拋物線y=ax²+bx+c的圖象上

∴c=8，將A（﹣6，0）、B（2，0）代入表達式，

得：

解得

∴所求拋物線的表達式為y=﹣x²﹣x+8（5分）

 

（3）依題意，AE=m，則BE=8﹣m，

∵OA=6，OC=8，

∴AC=10

∵EF∥AC

∴△BEF∽△BAC

∴=，即=

∴EF=（6分）

過點F作FG⊥AB，垂足為G，

則sin∠FEG=sin∠CAB=

∴=

∴FG=•=8﹣m

∴S=S_△BCE﹣S_△BFE=（8﹣m）×8﹣（8﹣m）（8﹣m）

=（8﹣m）（8﹣8+m）=（8﹣m）m=﹣m²+4m（8分）

自變量m的取值范圍是0＜m＜8 （9分）

 

（4）存在．

理由：∵S=﹣m²+4m=﹣（m﹣4）²+8且﹣＜0，

∴當m=4時，S有最大值，S_最大值=8 （10分）

∵m=4，

∴點E的坐標為（﹣2，0）

∴△BCE為等腰三角形．（12分）

（1）先解一元二次方程，得到線段OB、OC的長，也就得到了點B、C兩點坐標，根據(jù)拋物線的對稱性可得點A坐標；

（2）把A、B、C三點代入二次函數(shù)解析式就能求得二次函數(shù)解析式；

（3）易得S_△EFF=S_△BCE﹣S_△BFE，只需利用平行得到三角形相似，求得EF長，進而利用相等角的正弦值求得△BEF中BE邊上的高；

（4）利用二次函數(shù)求出最值，進而求得點E坐標．OC垂直平分BE，那么EC=BC，所求的三角形是等腰三角形．