Question

已知：正方形的邊長為1，射線與射線交于點(diǎn)，射線與射線交于點(diǎn)，．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，試猜想線段、、有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想．
（2）設(shè)，，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動時（不包括點(diǎn)、），如圖1，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并指出的取值范圍．
（3）當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動時（不含端點(diǎn)），點(diǎn)在射線上運(yùn)動.試判斷以為圓心以為半徑的和以為圓心以為半徑的之間的位置關(guān)系.

（4）當(dāng)點(diǎn)在延長線上時，設(shè)與交于點(diǎn)，如圖2．問△與△能否相似，若能相似，求出的值，若不可能相似，請說明理由．

Answer 1

(1)，證明見解析 (2)  (3)當(dāng)點(diǎn)在線段上時，與外切；當(dāng)點(diǎn)在延長線上時，與內(nèi)切．（4）相似，所求的長為

（1）猜想：．                                                    (1分)

證明：將△繞著點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得△，
易知點(diǎn)、、在一直線上．圖1．                  (1分)
∵，
，
又，
∴△≌△
∴．                          (1分)
（2）由（1）得
又，，
∴                       (1分)
化簡可得 ．                                                 (1+1分)
（3）①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)、之間時，由（1）知 ，故此時與外切；(1分)
②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時，，不存在．
③當(dāng)點(diǎn)在延長線上時，
將△繞著點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得△，圖2．
有,,,
∴．
∴．
又，
∴△≌△．                                                       (1分)
∴．                                         (1分)
∴此時與內(nèi)切．                                                      (1分)
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，與外切；當(dāng)點(diǎn)在延長線上時，與內(nèi)切．
（4）△與△能夠相似，只要當(dāng)即可．
這時有．                                                            (1分)
設(shè)，，由（3）有
由，得．
化簡可得 ．                                                    (1分)
又由，得，即，化簡得，          (1分)
解之得，，（不符題意，舍去）                               (1分)
∴所求的長為．
（1）將△ADF繞著點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得△ABF′，易知點(diǎn)F′、B、E在一直線上．證得AF′E≌△AFE．從而得到EF=F′E=BE+DF；
（2）由（1）得 EF=x+y再根據(jù) CF=1-y，EC=1-x，得到（1-y）²+（1-x）²=（x+y）²．化簡即可得到y(tǒng)=（0＜x＜1）．
（3）當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B、C之間時，由（1）知 EF=BE+DF，故此時⊙E與⊙F外切；當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)C時，DF=0，⊙F不存在．當(dāng)點(diǎn)E在BC延長線上時，將△ADF繞著點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得△ABF′，證得△AF′E≌△AFE．即可得到EF=EF′=BE-BF′=BE-FD．從而得到此時⊙E與⊙F內(nèi)切．
（4）△EGF與△EFA能夠相似，只要當(dāng)∠EFG=∠EAF=45°即可．這時有 CF=CE．設(shè)BE=x，DF=y，由（3）有EF=x-y．由 CE²+CF²=EF²，得（x-1）²+（1+y）²=（x-y）²．化簡可得 y=（x＞1）．又由 EC=FC，得x-1=1+y，即x-1=1+，化簡得x²-2x-1=0，解之即可求得BE的長．