Question

如圖，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，以AC為直徑作⊙O交BC于點D，交AB于點G，過點D作⊙O的切線交AB于點E，交AC的延長線與點F．
（1）求證：EF⊥AB；
（2）求cos∠F的值．

Answer 1

證明：（1）連接OD，…（1分）

∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
又∵AB=AC，
∴∠OCD=∠B，
∴∠ODC=∠B，
∴OD∥AB，…（2分）
∵ED是⊙O的切線，OD是⊙O的半徑，
∴OD⊥EF，
∴AB⊥EF；…（3分）
（2）連接AD、CG，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ADC=∠AGC=90°，
∵AB⊥EF，
∴DE∥CG，
∴∠F=∠GCA，…（4分）
∵AB=AC，
∴DC=

1

2

BC=5，
Rt△ADC中，AD=

AC2-CD2

=12，…（5分）
∵S_△ABC=

1

2

AD•BC=

1

2

AB•CG，
∴CG=

AD•BC

AB

=

120

13

，…（6分）
在Rt△CGA中，cos∠GCA=

GC

AC

=

120

169

，
∴cos∠F=

120

169

．…（7分）