Question

已知拋物線y=

1

4

x2-

3

4

mx+k，與直線l：y=x+m的左交點(diǎn)是A，拋物線與y軸相交于點(diǎn)C，直線l與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)E．
（1）直接寫出拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含m、k的式子表示）；
（2）當(dāng)m=2，k=-4時(shí)，求∠ACE的大小；
（3）是否存在正實(shí)數(shù)m=k，使得拋物線在直線l下方的一段弧上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)P₁和P₂，且∠A P₁E=∠A P₂E=45°？如果存在，求m的值和點(diǎn)P₁、P₂的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)公式法或配方法求出二次函數(shù)解析式的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)各點(diǎn)坐標(biāo)得出△ABE是等腰直角三角形．進(jìn)而得出∠ACE=∠ABE=45°；
（3）根據(jù)拋物線y=

1

4

x2-

3

4

mx+k，與直線l：y=x+m的交點(diǎn)得出A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出符合要求p點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）可用公式法直接求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，（

3

2

m，k-

9

16

m2）．

（2）當(dāng)m=2，k=-4時(shí)，
點(diǎn)C（0，-4），
直線DE為x=3，
再由

y=x+2，① y= 1 4 x2- 3 2 x-4．②

代①入②，得x²-10x-24=0，
解得，x₁=-2，x₂=12．
∴點(diǎn)A（-2，0）、點(diǎn)E（3，5）．
設(shè)拋物線與x軸的另一交點(diǎn)是B，DE與x軸相交于點(diǎn)F（3，0），
∵CF=AF=EF=BF=5，且△ABE是等腰直角三角形．
∴點(diǎn)A、B、C、E都在⊙F上，∠ACE=∠ABE=45°．

（3）當(dāng)m=k＞0時(shí)，

1

4

x2-

3

4

mx+k=x+m，
得x₁=0，x₂=3m+4＞0．
∴點(diǎn)A（0，m）．
顯然，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且平行于x軸的直線與拋物線的另一交點(diǎn)即為點(diǎn)P₁（3m，m）．
又∵由題意，點(diǎn)P₂只能有一解，
再結(jié)合拋物線的對(duì)稱性，可知點(diǎn)P₂只能重合于點(diǎn)D．
設(shè)DE與AP₁交于點(diǎn)G，
由DG=AG，即m-（k-

9

16

m2）=

3

2

m，
得m=

8

3

．
∴點(diǎn)P₁（8，

8

3

）、點(diǎn)P₂（4，-

4

3

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，利用函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)性質(zhì)得出符合要求點(diǎn)的坐標(biāo)是重點(diǎn)題型，同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注．